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webadm	投稿日時: 2014-1-20 16:30
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	面電荷危うかった線電荷の問題が終わり、今度は面電荷の問題半径aの円板に面密度σで電荷が一様に分布しているとき、円板の中心軸上の中心からxの距離の点での電界を求めよ。というもの。面積dS上に分布する電荷が点Pに作り出す電位は $\begin{eqnarray}<br />\varphi&=&\frac{\sigma\,dS}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{\sigma}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{r^2+x^2}}\,dr\,ds\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。半径aの円板状の電荷が点Pに作り出す電位は $\begin{eqnarray}<br />\usepackage{cancel}\varphi&=&\int_{0}^{a}\int_{0}^{2\,\pi\,r}\frac{\sigma}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{r^2+x^2}}dr\,ds=\frac{\sigma}{4\,\pi\,\epsilon_0}\int_{0}^{a}dr\int_{0}^{2\,\pi\,r}\frac{1}{\sqrt{r^2+x^2}}ds=\frac{\sigma}{4\,\cancel{\pi}\,\epsilon_0}\int_{0}^{a}\frac{2\,\cancel{\pi}\,r}{\sqrt{r^2+x^2}}dr\nonumber<br />\\&=&\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\sqrt{a^2+x^2}-x)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って点Pにおける電界は $\begin{eqnarray}<br />{\textbf E_x}&=&-\nabla\varphi=-\frac{\partial}{\partial x}\varphi=-\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{a^2+x^2}-x)=-\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-1)=\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}})\nonumber<br />\\&=&\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0}(1-\cos\theta)=\frac{\sigma}{4\,\pi\,\epsilon_0}\omega\nonumber<br />\\\omega&=&2\,\pi\,(1-\cos\theta)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。立体角ωの関係式は理論の時に学んだものを思い出す必要があった。 P.S この問題は円板面の中心軸上の電位と電界を求める問題だが、円板面の中心から離れた任意の点における電位と電界を求めるのは少し面倒だがそんなには難しくないと思われる。それは読者の課題としよう( ´∀`)

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題名	投稿者	日時
真空中の電荷分布による静電界演習問題	webadm	2014-1-9 0:00
一直線上の複数の点電荷	webadm	2014-1-9 0:04
振り子検電器	webadm	2014-1-12 3:42
続：振り子検電器	webadm	2014-1-12 4:10
平面上の複数電荷	webadm	2014-1-12 13:05
電気双極子	webadm	2014-1-12 21:28
続：電気双極子	webadm	2014-1-13 22:09
点電荷による電界	webadm	2014-1-13 23:45
続：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 0:34
続々：点電荷による電界	webadm	2014-1-14 12:28
線電荷	webadm	2014-1-14 13:30
続：線電荷	webadm	2014-1-16 4:04
続々：線電荷	webadm	2014-1-19 18:08
もうひとつの：線電荷	webadm	2014-1-20 12:44
» 面電荷	webadm	2014-1-20 16:30
続：面電荷	webadm	2014-1-20 18:11
どちらかというと：線電荷	webadm	2014-1-20 21:51
球面電荷	webadm	2014-1-22 23:48
球体積電荷	webadm	2014-1-23 3:31
一般の体積電荷	webadm	2014-1-26 1:37
電気双極子	webadm	2014-2-5 6:28
電気四重極子	webadm	2014-2-5 6:43
電気二重層	webadm	2014-2-9 2:31
続：電気二重層	webadm	2014-2-10 17:27
n重極子	webadm	2014-2-10 19:02
Re: n重極子	webadm	2014-3-24 13:28
Re: n重極子	webadm	2014-8-21 10:22
Re: n重極子	webadm	2014-12-22 4:09
多重極展開	webadm	2024-1-30 18:55

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