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webadm	投稿日時: 2011-11-1 17:32
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	RL直列回路一度理論のときに取り上げているが、最初に登場するのがRL直列回路の問題。 t=0でスイッチを閉じるとき、（１）流れる電流i,および抵抗RとインダクタンスLの端子電圧eR,eLを求め、これを図示せよ。また（２）時刻t=0のときに、この回路に電流I0が流れていた場合にはどうなるか。というもの。最初にこの問題の題意が微分方程式をたてること、その初期値問題を解くこと帰着することに気づく必要がある。上巻で学んだような定常状態の解析問題ではない。もちろんその知識も必要ではある。幸い著者の回答はあまり見通しが良いものではないので、もっと見通しの良い別解を考えることにしよう。問題の回路では以下の様にキルヒホッフの電圧則が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L\frac{di}{dt}+R\,i&=&E<br />\end{eqnarray}$ ここまでは誰が考えても一緒だ。ここでLの両端の電圧降下をuとして書き換え両辺をtで微分すると $\begin{eqnarray}<br />u&=&L\frac{di}{dt}\\<br />\frac{di}{dt}&=&\frac{1}{L}u\\<br />i&=&\frac{1}{L}\int\,u\,dt+C\\<br />L\frac{di}{dt}+R\,i&=&u+R\left(\frac{1}{L}\int\,u\,dt+C\right)=E\\<br />\frac{du}{dt}+\frac{R}{L}u&=&0<br />\end{eqnarray}$ というuに関する線型同次微分方程式が得られる。これは変数分離できるので両辺に変数を分離して積分すると $\begin{eqnarray}<br />\int\,\frac{1}{u}du&=&-\frac{R}{L}\int\,dt+C\\<br />\log\left(\left\|u\right\|\right)&=&-\frac{R}{L}t+C\\<br />u&=&\pm\,e^{C}e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&K\,e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />K&=&\pm\,e^{C}<br />\end{eqnarray}$ と解ける。ここで未定係数Kは初期条件t=+0の時u(+0)=Eとおくことにより $\begin{eqnarray}<br />\left. u\right\|_{t=+0}&=&\left. K\,e^{-\frac{R}{L}t}\right\|_{t=+0}\\<br />&=&K=E<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってLの両端の電圧降下uは $\begin{eqnarray}<br />u&=&E\,e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これより電流iの過渡解は $\begin{eqnarray}<br />i_p&=&\frac{1}{L}\int\,E\,e^{-\frac{R}{L}t}dt\\<br />&=&-\frac{E}{\cancel{L}}\frac{\cancel{L}}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&-\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一方定常解は定常状態の直流電流であるから $\begin{eqnarray}<br />i_s&=&\frac{E}{R}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一般解は定常解と過渡解の重ね合わせにより $\begin{eqnarray}<br />i&=&i_s+i_p=\frac{E}{R}-\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って抵抗RとインダクタンスLの電圧降下はそれぞれ $\begin{eqnarray}<br />e_R&=&R\,i=\cancel{R}\frac{E}{\cancel{R}}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\<br />&=&E\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\<br />e_L&=&u=E\,e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これらは以下のキルヒホッフの電圧則を満足していることが確かめられる $\begin{eqnarray}<br />e_R+e_L&=&E<br />\end{eqnarray}$ E=1,R=2,L=1としてi,eR,eLをプロットするととなる。次に（２）の題意は、スイッチを閉じる前の定常状態の電流がI0であったと解釈することにする。そうでないとdI0/dt≠0となって初期状態でのLの両端の電圧降下が0でなくなる。この場合にはt=+0における初期条件としてu(+0)=E-RI0と置くことができる $\begin{eqnarray}<br />\left. u\right\|_{t=+0}&=&\left. K\,e^{-\frac{R}{L}t}\right\|_{t=+0}\\<br />&=&K=E-R\,I_0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってLの両端の電圧降下uは $\begin{eqnarray}<br />u&=&\left(E-R\,I_0\right)\,e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これより電流iの過渡解は $\begin{eqnarray}<br />i_p&=&\frac{1}{L}\int\,\left(E-R\,I_0\right)\,e^{-\frac{R}{L}t}dt\\<br />&=&-\frac{\left(E-R\,I_0\right)}{\cancel{L}}\frac{\cancel{L}}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&-\frac{\left(E-R\,I_0\right)}{R}e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&\left(I_0-\frac{E}{R}\right)e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一方定常解は定常状態の直流電流であるから $\begin{eqnarray}<br />i_s&=&\frac{E}{R}<br />\end{eqnarray}$ であることには変わりない。一般解は定常解と過渡解の重ね合わせにより $\begin{eqnarray}<br />i&=&i_s+i_p=\frac{E}{R}+\left(I_0-\frac{E}{R}\right)e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&I_0\,e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って抵抗RとインダクタンスLの電圧降下はそれぞれ $\begin{eqnarray}<br />e_R&=&R\,i=R\left(I_0\,e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\right)\\<br />&=&R\,I_0\,e^{-\frac{R}{L}t}+E\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)\\<br />e_L&=&u=\left(E-R\,I_0\right)\,e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。この場合でも以下のキルヒホッフの電圧則が成り立っていることが確かめられる $\begin{eqnarray}<br />e_R+e_L&=&E<br />\end{eqnarray}$ 同様にI0=1,E=1,R=2,L=1としてi,eR,eLをプロットするととなる。時計回りにI0が流れていたとすると、それまでにLに蓄えられていたエネルギーがスイッチを閉じた瞬間に解き放たれ時計回りに電流を流し続けようとする。これはちょうど接続された電源と逆極性の電圧降下がLの両端に発生することを意味する。なのでI0が正極性であればeRは負極性を持つことになる。 P.S 最初から線型微分方程式の解の公式を使って初期値問題を解いてもよい。理論のときに紹介した積分因子法や定数変化法によって以下の一階線型微分方程式の一般解を求めて利用しても良い。 $\begin{eqnarray}<br />\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)\,y&=&Q\left(x\right)\\<br />y&=&e^{-\int\,P\left(x\right)\,dx}\left(\int\,Q\left(x\right)e^{\int\,P\left(x\right)\,dx}dx+K\right)<br />\end{eqnarray}$ ここから先は読者の課題としよう（´∀｀　）

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過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
» RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
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