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webadm	投稿日時: 2011-11-3 8:44
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	まだまだ：RL直列回路つぎもRL直列回路の問題計算問題だが、今までと初期条件が違うので注意が必要だ。 RL直列回路に直流電圧E=100[V]を加えるときに流れる電流iおよび時定数τを求めよ。ただしR=5[kΩ]、L=500[mH]とし、t=0のとき電流I0=-0.5[A]が流れていたものとする。回路としては最初に出てきたものと一緒と考えてよいだろう。違うのは初期条件で定常電流とは逆方向の電流が流れていたという点である。これはI0としてしまえば特別正負どちらでも気にする必要はない。初期値問題を解くために微分方程式をたてると $\begin{eqnarray}<br />L\frac{di}{dt}+R\,i&=&E<br />\end{eqnarray}$ 両辺をLで割って、主項の係数を取り払うと $\begin{eqnarray}<br />\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i&=&\frac{E}{L}<br />\end{eqnarray}$ これは以下の線型非同次一階微分方程式でP(x)=R/L,Q(x)=E/Lとしたものと同じである $\begin{eqnarray}<br />\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y&=&Q\left(x\right)<br />\end{eqnarray}$ この形の微分方程式の一般解は $\begin{eqnarray}<br />y&=&e^{-\int\,P\left(x\right)dx}\left(\int\,Q\left(x\right)e^{\int\,P\left(x\right)dx}dx+K\right)<br />\end{eqnarray}$ で表される。従って一般解は上記の公式より $\begin{eqnarray}<br />i&=&e^{-\int\frac{R}{L}dt}\left(\int\frac{E}{L}e^{\int\frac{R}{L}dt}+K\right)\\<br />&=&e^{-\frac{R}{L}t}\left(\frac{E}{L}\int\,e^{\frac{R}{L}t}dt+K\right)\\<br />&=&\cancel{e^{-\frac{R}{L}t}}\frac{E}{\cancel{L}}\frac{\cancel{L}}{R}\cancel{e^{\frac{R}{L}t}}+K\,e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R}+K\,e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここで初期条件としてt=+0,i(+0)=I0とすると未定係数Kと特別解は $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=+0}&=&\left. \frac{E}{R}+K\,e^{-\frac{R}{L}t}\right\|_{t=+0}\\<br />&=&\frac{E}{R}+K=I_0\\<br />K&=&I_0-\frac{E}{R}\\<br />i&=&\frac{E}{R}+\left(I_0-\frac{E}{R}\right)e^{-\frac{R}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)+I_0\,e^{-\frac{R}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これに題意で与えられた回路条件を代入すると $\begin{eqnarray}<br />i&=&\frac{100}{5000}\left(1-e^{-\frac{5000}{0.5}t}\right)-0.5\,e^{-\frac{5000}{0.5}t}\\<br />&=&\frac{1}{50}-\left(\frac{1}{50}+0.5\right)e^{-10000\,t}\\<br />&=&0.02-0.52\,e^{-10000\,t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。また時定数τは $\begin{eqnarray}<br />\tau&=&\frac{L}{R}=\frac{0.5}{5000}=\frac{0.1}{1000}\\<br />&=&\frac{1}{10000}=10^{-4}=100[\mu\,sec]<br />\end{eqnarray}$ ということになる。電流のグラフをプロットして確かめてみると確かに初期条件でi=-0.5[A]でτ=0.0001[sec]である。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
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微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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