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webadm	投稿日時: 2012-1-22 23:50
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	RC直列回路今度はRC直列回路の過渡現象解析問題以下のRC直列回路において、t=0でスイッチを閉じて直流電圧Eを加えるとき、流れる電流iおよび電荷qを求めこれを図示せよ。また任意の時間T1における電流の接線が定常電流I=0と交わる時間をT2とするとき、その差τT2-T1は時刻T1に関係なく常にRCとなることを証明せよ。さらにt=0では電圧Eは抵抗のみに加わりキャパシタンスには加わらないことを示せ。ただし、t=0におけるキャパシタンスの初期電荷は0とする。電流iと電荷qに関して以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R\,i+\frac{1}{C}\int\,i\,dt&=&E\\<br />R\frac{d{q}}{dt}+\frac{1}{C}q&=&E<br />\end{eqnarray}$ これをHeavisideの抵抗オペレータを使って書き換えると $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf u}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}R+\frac{1}{C\,p}&0\\0&R\,p+\frac{1}{C}\end{bmatrix}\\<br />{\bf u}&=&\begin{bmatrix}i\left(t\right)\\q\left(t\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}E\\E\end{bmatrix}\\<br />p&=&\frac{d}{dt}\\<br />\frac{1}{p}&=&\int\,dt<br />\end{eqnarray}$ ということになる。pは微分演算子、1/pはp^-1で積分演算子。従って演算子法で解を導くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf u}&=&{\bf F}^{-1}{\bf F}{\bf u}={\bf F}^{-1}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{p}{R\left(p+\frac{1}{C\,R}\right)} & 0\cr 0 & \frac{1}{R\left(p+\frac{1}{C\,R}\right)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E\\E\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{p\,E}{R\left(p+\frac{1}{C\,R}\right)}\\\frac{E}{R\left(p+\frac{1}{C\,R}\right)}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}\\C\,E\left(1-e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}i\left(t\right)\\q\left(t\right)\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。p/(p+a),1/(p+a)は変換表によりそれぞれexp(-at),(1/a)(1-exp(-a))へと変換した。 i,qをそれぞれE=C=R=1とおいてMaximaでプロットしてみるとということになる。３つめの題意が難しいかもしれない。任意の時刻T1における電流の接線の傾きは電流の導関数から $\begin{eqnarray}<br />\left. \frac{d{i}}{dt}\right\|_{t=T_1}&=&\left. \frac{d}{dt}\left(\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right)\right\|_{t=T_1}\\<br />&=&-\left. C\,\cancel{R}\,\frac{E}{\cancel{R}}\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right\|_{t=T_1}\\<br />&=&-C\,E\,e^{-\frac{T_1}{C\,R}}<br />\end{eqnarray}$ 従って接線がT2で時間軸と交わる条件よりτは $\begin{eqnarray}<br />i\left(T_1\right)-\left(T_2-T_1\right)C\,E\,e^{-\frac{T_1}{C\,R}}&=&i\left(T_1\right)-\tau\,C\,E\,e^{-\frac{T_1}{C\,R}}=0\\<br />\tau&=&\frac{i\left(T_1\right)}{C\,E\,e^{-\frac{T_1}{C\,R}}}\\<br />&=&\frac{\frac{\cancel{E}}{R}\cancel{e^{-\frac{T_1}{C\,R}}}}{C\,\cancel{E}\,\cancel{e^{-\frac{T_1}{C\,R}}}}\\<br />&=&\frac{1}{C\,R}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 t=0でのCの電荷は0である題意で与えられているのでt=0におけるCによる電圧降下は0となり、電源電圧Eはすべて抵抗に加わることになる。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
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微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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