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webadm	投稿日時: 2012-1-29 0:18
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	またまた：RC直列回路次もRC直列回路の問題だが少し毛色が違っている RC直列回路に直流電圧Eを加えるとき、抵抗Rおよびキャパシタンスに供給される電力Pr,Pcを求めよ。またキャパシタンスにWc=CE^2/2のエネルギーを蓄えるには同僚のエネルギーを抵抗Rで消費しなければならないことを証明せよ。というもの。これまでは電流、電圧、電荷に関するものだったのが、電力とエネルギーに関するものに拡大されている。電力は電流と電圧もしくは電流か電圧の双線型形式で表され、エネルギーは電力の時間積分で表されることを思い出す必要がある。電流の解はこれまでの結果より $\begin{eqnarray}<br />i&=&\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って抵抗RとキュパシタンスCに供給される電力はそれぞれの電圧降下に電流を乗じた瞬時値電力として $\begin{eqnarray}<br />P_{R}&=&R\,i^2=\cancel{R}\,\frac{E^2}{R\cancel{^2}}e^{-\frac{2}{C\,R}t}\\<br />&=&\frac{E^2}{R}e^{-\frac{2}{C\,R}t}\\<br />P_{C}&=&i\,\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\,i\,dt=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}\frac{1}{\cancel{C}}\left[-\cancel{C}\,E\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right]_{0}^{t}=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}\left[-E\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}+E\right]\\<br />&=&\frac{E^2}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}\left(1-e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って抵抗Rで消費されるエネルギーとキャパシタンスCに蓄えられるエネルギーはそれぞれに流入する電力を時間積分して $\begin{eqnarray}<br />W_{R}&=&\int_{0}^{t}P_{R}dt=\int_{0}^{t}\frac{E^2}{R}e^{-\frac{2}{C\,R}t}dt=\left[-\frac{C\,\cancel{R}}{2}\left(\frac{E^2}{\cancel{R}}\right)e^{-\frac{2}{C\,R}t}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&\left[-\frac{C\,E^2}{2}\,e^{-\frac{2}{C\,R}t}+\frac{C\,E^2}{2}\right]\\<br />&=&\frac{C\,E^2}{2}\left(1-e^{-\frac{2}{C\,R}t}\right)\\<br />W_{C}&=&\int_{0}^{t}P_{C}dt=\int_{0}^{t}\frac{E^2}{R}e^{-\frac{1}{C\,R}t}\left(1-e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right)dt=\frac{E^2}{\cancel{R}}\left[-C\,\cancel{R}\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}+\frac{C\,\cancel{R}}{2}e^{-\frac{2}{C\,R}t}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&E^2\left[-C\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}+\frac{C}{2}e^{-\frac{2}{C\,R}t}+C-\frac{C}{2}\right]\\<br />&=&\frac{C\,E^2}{2}\left(e^{-\frac{1}{C\,R}t}\left(2-\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right)+1\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってt→∞でキャパシタンスCにCE^2/2のエネルギーが蓄えられるから、それまでに抵抗Rで消費されるエネルギーは $\begin{eqnarray}<br />\lim_{t\to\infty}W_{C}&=&\lim_{t\to\infty}\frac{C\,E^2}{2}\left(e^{-\frac{1}{C\,R}t}\left(2-\,e^{-\frac{1}{C\,R}t}\right)+1\right)\\<br />&=&\frac{C\,E^2}{2}\\<br />\lim_{t\to\infty}W_{R}&=&\lim_{t\o\infty}\frac{C\,E^2}{2}\left(1-e^{-\frac{2}{C\,R}t}\right)\\<br />&=&\frac{C\,E^2}{2}<br />\end{eqnarray}$ と同じであることが確かめられる。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
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RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
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RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
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続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
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電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
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断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
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断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
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まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
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RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
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相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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