次はLC直列回路

これも普通の本では扱わない禁断の回路。現実には存在しないし作れない。それをあえて扱うところにおもしろさがある。

インダクタンスLとキャパシタンスCが直列に接続されている回路に直流電圧Eをt=0で加えるとき、インダクタンスLおよびキャパシタンスCに生じる電圧を求めよ。またキャパシタンスの最大電圧はいくらか。



LC直列回路に電圧Eがステップ入力されると考えることができる。

以下の関係式が成り立つ



これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。

「共立　数学公式改訂増補」にある以下の演算子の対応表を今回は使用した



これは既に知っている変換からも得られる



従ってキャパシタンスの両端の電圧値はv2のcos項が-1を取る時に最大で



ということになる。

C=L=E=1としてv1,v2,iをプロットしてみると



ということからも明らかである。

現実の回路では電源もインダクタンスもキャパシタンスも電力を消費するので、上の解の様に永久にエネルギーの蓄積と放出サイクルを繰り返すことはなく、有限時間内に減衰して定常状態に落ち着くことになる。

インダクタンスと配線に超伝導材料を、キャパシタンスに真空を用いたらどうなるだろうか。その場合には極めて長期間振動を繰り返すことが予想されるが、それでも電界と磁界が時間と共に変化するため周囲の自由空間を歪ませその波が電磁波として放射されるので、電源からのエネルギーをわずかに消費し続けることになる。それを無視すれば上記の解に等しい結果が得られる。

現実の回路はRLC直列回路となるわけだが、ここで抵抗Rを半導体素子や真空管などの負性抵抗素子に置き換えると、次第に振幅が減衰する抵抗の場合とは逆に次第に振幅が増大する。これが発振回路の原理である。