次の問題は断続部のあるLC並列回路

定電流源により一定電流Iが供給されていて、t=0のときi1=I,i2=0,ec=0であるとし、t=0でスイッチを閉じるとき、次の問に答えよ。（１）i1がIから0となるまでの時間Tを求めよ。（２）t=Tのときのecの値はいくらか。（３）t=0からt=Tまでの間に電源からこの回路に供給されるエネルギーを求めよ。



というもの。

定電流源というのは久々に登場。なかなかイメージがつかみきれないよね。定電圧源なら判りやすいけど。

定電流源だと一定の電流を流すためには出力電圧がいくらでも高くなるし、また低くもなるのでキルヒホッフの電圧則が電源を含んだ閉回路には使えない。

定常状態でLC直列回路に定電流が流れるというのもなかなか想像し難い。Cに電流が流れればそれに応じてCの両端の電圧が上昇する。一定の電流を流し続けるためにはLC直列回路に加える電圧を上げ続けなければならない。まさにそうした状況下でスイッチが閉じられるということになる。

スイッチが閉じる前後では鎖交磁束不変の理によりi2(-0)=i2(+0)=0であり、i1(-0)=i(-0)=Iである。しかしi2には次第に流れる電流が増す。定電流源によってi1+i2=Iであるから、i1はi2が増えた分減少していくことになる。それまではi1は一定値だったのでLの両端の電圧は0であったのが、減少に転じるとそれ以前に流れていた電流を保とうと電圧が発生する。それはCに蓄えられた電荷によって生じる電圧と逆極性となる。

予想できるのはそこまでで、それ以降はややこしくなってしまって想像の域を超えてしまう。

定常状態とするとCにどれだけの電荷が蓄えられているのか不定である。しかし問題文ではec(0)=0とあるので、実は定常状態ではCに電流が一切流れてないということが判明する。t=-0でCに蓄えられている電荷は0ということになる。

そうすると以下の様な回路として捉え直す必要がある。



すなわちt＞0の定常状態ではCは短絡されていて電荷は0のまま。Lにだけ電流Iが流れている状態。t=0でスイッチが切り替わるとCとLが同時期に回路に追加される。鎖交磁束不変の理によりt=0で電流IがCに流れることになる。新たに加わったLの方はそれまでの電流0を保とうとするために逆に電流を流さないように妨げる電圧が発生する。

キルヒホッフの電流則と鎖交磁束不変の理、それに電荷量の不変の理より以下の関係が成り立つ



これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと



これを演算子法で解くと



ということになる。予想外にすっきりした綺麗な式が現れた。

C=L=I=1としてプロットしてみると



ということになる。これまた予想外なことに、i2の極大値は電源から供給される電流を超える。

さて題意（１）のi1が0となる時間Tは



ということになる。

題意（２）のt=Tにおけるecの値は



ということになる。

題意（３）のt=0からTの間に回路に供給されるエネルギーは、２つのLとひとつのCに供給される瞬時値電力を定積分することで



ということになる。