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webadm	投稿日時: 2012-5-6 21:41
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	まだまた：RLC直列回路易しい問題で少し休息したところで次ぎはまた難しそうな問題。図の回路において、スイッチを閉じてから後、端子AB間に生じる電圧を求めよ。ただし、R=4√(L/3C)とし、スイッチを閉じる前は定常状態にあるものとする。というもの。回路素子数が多いので敬遠モードに入りそうだが、問題文を良く見るとスイッチがとじると右のRC直列回路はバイパスされ回路上から消失することになる。ということはスイッチを閉じた以降は今までと同じRLC直列回路となる。今までのRLC直列回路と異なるのは、キャパシタンスCにスイッチが閉じられる前の定常状態で初期電荷があるという点。つまりこの問題は初期条件が異なる点を除いて今までのRLC直列回路の解析と何ら変わるものではないということがわかる。最初に初期条件を明らかにしておく必要がある。スイッチが閉じる前の定常状態では電流は流れておらず、２つのキャパシタンスのみにエネルギーが蓄積された状態。２つのキャパシタンスが電源電圧Eを２分圧する形で電荷を蓄えている。従ってひとつのキャパシタンスの電圧はE/2となり、蓄えられている電荷はCE/2ということになる。スイッチが閉じるとキャパシタンスに初期電荷があるRLC直列回路に電源電圧Eがステップ入力されると考えることができる。問題の題意から端子AB間の電圧を求めるので、予めRとCの両端の電圧に関する立式をたてるのがよさそうである。以下の関係式が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L\frac{d}{dt}\left(\frac{v_{r}}{R}\right)+v_{c}+v_{r}&=&E\\<br />C\,v_{c}-\int\left(\frac{v_{r}}{R}\right)dt&=&\frac{C\,E}{2}<br />\end{eqnarray}$ これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf u}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}\frac{L\,p}{R}+1&1\cr -\frac{1}{R\,p}&C\end{bmatrix}\\<br />{\bf u}&=&\begin{bmatrix}v_{r}\left(t\right)\cr v_{c}\left(t\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}E\cr \frac{C\,E}{2}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ これを演算子法で解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf u}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf u}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{L\,p}{R}+1&1\cr -\frac{1}{R\,p}&C\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}E\cr \frac{C\,E}{2}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{p\,\cancel{C}\,E\,R}{2\,\cancel{C}\,L\left(p^2+ \frac{p\,\cancel{C}\,R}{\cancel{C}\,L}+\frac{1}{C\,L}\right) }\cr \frac{E}{2\,C\,L\left(p^2+ \frac{p\,\cancel{C}\,R}{\cancel{C}\,L}+\frac{1}{C\,L}\right) }+\frac{E}{2}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{p\,E\,R}{2\,L\left(p^2+ \frac{p\,R}{L}+\frac{1}{C\,L}\right) }\cr \frac{E}{2\,C\,L\left(p^2+ \frac{p\,R}{L}+\frac{1}{C\,L}\right) }+\frac{E}{2}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\frac{R}{4\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\left(\frac{p}{p+ \frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}-\frac{p}{p+\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\right)\cr \frac{E}{2}\left(1+\frac{1}{2\,C\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\left(\frac{1}{p+ \frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}-\frac{1}{p+\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\frac{R}{4\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\left(e^{-\left(\frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}\right)t}-e^{-\left(\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}\right)t}\right)\cr \frac{E}{2}\left(1+\frac{1}{2\,C\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\left(\frac{1}{\frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\left(1-e^{-\left(\frac{R}{2\,L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}\right)t}\right)-\frac{1}{\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\left(1-e^{-\left(\frac{R}{2\,L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}\right)t}\right)\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\frac{R}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\cr E\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{R}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)+\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)\end{bmatrix}\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここで端子AB間の電圧は２つの電圧の和であるので $\begin{eqnarray}<br />e_{ab}&=&e_{r}+e_{c}=E\frac{R}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}+E\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{R}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)+\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)\\<br />&=&E\left(1-\frac{1}{2}\left(\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)-\frac{R}{2\,L\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)\right)e^{-\frac{R}{2\,L}t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここでようやく題意のRの条件式を代入すると $\begin{eqnarray}<br />e_{ab}&=&E\left(1-\frac{1}{2}\left(\cosh\left(\sqrt{\left(\frac{4\sqrt{\frac{L}{3\,C}}}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)-\frac{4\sqrt{\frac{L}{3\,C}}}{2\,L\sqrt{\left(\frac{4\sqrt{\frac{L}{3\,C}}}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}}\sinh\left(\sqrt{\left(\frac{4\sqrt{\frac{L}{3\,C}}}{2\,L}\right)^{2}-\frac{1}{C\,L}}t\right)\right)e^{-\frac{4\sqrt{\frac{L}{3\,C}}}{2\,L}t}\right)\\<br />&=&E\left(1-\frac{1}{2}\left(\cosh\left(\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t\right)-2\sinh\left(\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t\right)\right)e^{-\frac{2}{\sqrt{3\,C\,L}}t}\right)\\<br />&=&E\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{e^{\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}+e^{-\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}}{2}-e^{\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}+e^{-\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}\right)e^{-\frac{2}{\sqrt{3\,C\,L}}t}\right)\\<br />&=&E\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{e^{-\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}+e^{-\sqrt{\frac{3}{C\,L}}t}}{2}-e^{-\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}+e^{-\sqrt{\frac{3}{C\,L}}t}\right)\right)\\<br />&=&E\left(1+\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{\sqrt{3\,C\,L}}t}-\frac{3}{4}e^{-\sqrt{\frac{3}{C\,L}}t}\right)\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 C=L=E=1でプロットするとということになる。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
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断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
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RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
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RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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