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webadm	投稿日時: 2012-5-12 18:14
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	続々：RLC直並列回路次の問題もRLC直並列回路だが少し捻ってある以下の回路のスイッチを閉じた瞬間から常に電池Eを流れる電流が一定であるにはR1,R2,L,Cの間にどういう条件が必要か。というもの。回路は一見すると前問と同じ、RL直列回路とRC直列回路が並列接続されたもの。電池Eに流れる電流はRL直列回路とRC直列回路それぞれに流れる電流の和であるから、今まで学んだ結果から暗算でも求めることができる。しかし題意はその電流が一定になる素子定数の条件を求めよというものである。すぐにこの問題は回路が定抵抗回路となる条件を問うているのがわかる。ストラテジーとしては、直接回路の複素周波数領域でのインピーダンスが定抵抗となる素子定数の条件を直接求めてしまう方法と、過渡電流の解からそれが時間に依存しない定数となる素子定数条件を求める方法がある。著者は後者の方法なのでそれとは別解でやってみよう。問題の回路の複素周波数領域でのインピーダンスは $\begin{eqnarray}<br />Z\left(s\right)&=&\frac{1}{\frac{1}{R_{1}+L\,s}+\frac{1}{R_{2}+\frac{1}{C\,s}}}\\<br />&=&\frac{s\,\left( L-{R}_{2}^{2}\,C\right) -{R}_{2}+{R}_{1}}{{s}^{2}\,C\,L+\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right) \,s\,C+1}+{R}_{2}\\<br />s&=&\alpha+j\omega<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってインピーダンスが複素周波数に依らず定抵抗となる条件は、第1項がゼロである必要から $\begin{eqnarray}<br />0&=&L-{R}_{2}^{2}\,C\\<br />0&=&-{R}_{2}+{R}_{1}\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。すなわち $\begin{eqnarray}<br />R_{1}&=&R_{2}=\sqrt{\frac{L}{C}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。なんだ簡単じゃないか( ´∀`) 著者はR1=R2とR1/L=1/CR2とだけの結論だが、実際には美しい関係式が潜んでいることを見落としている。 P.S 演算子法を使った別解もある電池に流れる電流i,Lに流れる電流i1,Cに流れる電流i2の間に以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R_{1}\,i_{1}+L\frac{d{i_{1}}}{dt}&=&E\\<br />R_{2}\,i_{2}+\frac{1}{C}\int\,i_{2}dt&=&E\\<br />i_{1}+i_{2}-i&=&0<br />\end{eqnarray}$ これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf u}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}R_{1}+L\,p&0&0\cr 0&R_{2}+\frac{1}{C\,p}&0\cr 1&1&-1\end{bmatrix}\\<br />{\bf u}&=&\begin{bmatrix}i_{1}\left(t\right)\cr i_{2}\left(t\right)\cr i\left(t\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}E\cr E\cr 0\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ これを演算子法で解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf u}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf u}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}R_{1}+L\,p&0&0\cr 0&R_{2}+\frac{1}{C\,p}&0\cr 1&1&-1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}E\cr E\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E}{L\left(p+\frac{{R}_{1}}{L}\right)}\cr \frac{E}{{R}_{2}}-\frac{E}{C\,{R}_{2}^{2}\,\left(p+\frac{E}{C\,R_{2}}\right) }\cr \frac{E}{L\left(p+\frac{{R}_{1}}{L}\right)}-\frac{E}{C\,{R}_{2}^{2}\,\left(p+\frac{1}{C\,R_{2}}\right) }+\frac{E}{{R}_{2}}\end{bmatrix}\\<br />\end{eqnarray}$ 解を求めるまでもなくこの時点でi(t)が定数になるための条件は第一項と第二項の和がゼロになる必要から $\begin{eqnarray}<br />L&=&C\,R_{2}^{2}\\<br />\frac{R_{1}}{L}&=&\frac{1}{C\,R_{2}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。すなわち $\begin{eqnarray}<br />R_{2}&=&\sqrt{\frac{L}{C}}=R_{1}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ちなみにこの√(L/C)は単位が抵抗と同じΩであることから、特性インピーダンス(characteristic impedance)と呼ばれる。特性インピーダンスという用語を最初に用いたのはHeavisideである。一定値の特性インピーダンスを持つ伝送路をその特性インピーダンスで終端することによって長距離でも歪みなく信号を伝える同軸ケーブルの原理を発明したのもHeavisideである。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
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RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
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続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
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RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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