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webadm	投稿日時: 2012-5-13 1:37
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3107	RL直列回路（交流入力）次はRL直列回路に戻って今度は直流電源入力ではなく交流電源入力の問題 RL直列回路にt=0で正弦波電圧e=Em sin(ωt+θ)を加えた場合の（１）電流iを求めよ。（２）電流の過渡成分が0となるための条件を示せというもの。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R\,i+L\frac{d{i}}{dt}&=&E_{m}\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)<br />\end{eqnarray}$ これをHeaviside演算子で書き直すと $\begin{eqnarray}<br />L\left(p+\frac{R}{L}\right)\,i&=&E_{m}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)<br />\end{eqnarray}$ これを演算子法で解くと $\begin{eqnarray}<br />i&=&\frac{E_{m}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)}{L\left(p+\frac{R}{L}\right)}\\<br />&=&\frac{E_{m}}{L}e^{\small -\frac{R}{L}\int_{0}^{t}dt}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{\small \frac{R}{L}\int_{0}^{t}dt}dt\\<br />&=&\frac{E_{m}}{L}e^{\small -\frac{R}{L}t}\left(\frac{L}{R}\left[\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{\frac{R}{L}t}\right]_{0}^{t}-\omega\frac{L}{R}\int_{0}^{t}\cos\left(\omega\,t+\theta\right)e^{\frac{R}{L}t}dt\right)\\<br />&=&\frac{E_{m}}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\left(\frac{L}{R}\left[\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{\frac{R}{L}t}-\sin\left(\theta\right)\right]-\omega\frac{L}{R}\left(\frac{L}{R}\left[\cos\left(\omega\,t+\theta\right)e^{\frac{R}{L}t}\right]_{0}^{t}+\omega\frac{L}{R}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)e^{\frac{R}{L}t}dt\right)\right)\\<br />&=&\frac{E_{m}}{R\left(\omega^{2}\frac{L^{2}}{R^{2}}+1\right)}\left(\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\omega\frac{L}{R}\cos\left(\omega\,t+\theta\right)-e^{-\frac{R}{L}t}\left(\sin\left(\theta\right)-\omega\frac{L}{R}\cos\left(\theta\right)\right)\right)\\<br />&=&\frac{E_{m}}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\left(\frac{R}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\frac{\omega\,L}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\cos\left(\omega\,t+\theta\right)-e^{-\frac{R}{L}t}\left(\frac{R}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\sin\left(\theta\right)-\frac{\omega\,L}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\cos\left(\theta\right)\right)\right)\\<br />&=&\frac{E_{m}}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\left(\cos\left(\phi\right)\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega\,t+\theta\right)-e^{-\frac{R}{L}t}\left(\cos\left(\phi\right)\sin\left(\theta\right)-\sin\left(\phi\right)\cos\left(\theta\right)\right)\right)\\<br />&=&\frac{E_{m}}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}\left(\sin\left(\omega\,t+\theta-\phi\right)-e^{-\frac{R}{L}t}\sin\left(\theta-\phi\right)\right)\\<br />\phi&=&\tan^{-1}\frac{\omega\,L}{R}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。久々に三角関数の加法定理を使った。ここで題意の過渡電流は第二項の指数関数を伴った過渡項でありt→∞で0に収束する項のことである $\begin{eqnarray}<br />i_{t}&=&-\frac{E_{m}}{\sqrt{\omega^{2}L^{2}+R^{2}}}e^{-\frac{R}{L}t}\sin\left(\theta-\phi\right)<br />\end{eqnarray}$ これがゼロになる条件はsin項が0になる条件 $\begin{eqnarray}<br />\theta-\phi&=&n\,\pi\,\,\,\,\left(n=0,1,\cdot\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 R,Lは共に実数で≠0であるとすればφはωによって、0≦φ＜π/2の範囲の値を取る。θが、nπ≦θ＜(n+1/2)πであれば少なくとも過渡電流はゼロとなるωが必ずひとつ存在することになる。(n+1/2)π≦θ＜2nπの範囲では条件を満たさないばかりか、定常状態での最大電流がスイッチを入れた瞬間に流れてしまう可能性があるということになる。これは何に役立つのだろう。電力システムとかで遮断器を投入する際に上記の条件を満たすタイミングで遮断器を投入すれば有害な過渡電流が流れずに綺麗に電力回路がつながることになる。負荷が定抵抗回路でない限りは交流電源を投入する場合、上記の条件を考慮しないと意図しない過渡電流が流れるということを意味する。零相投入(θ=0)ではだめなのだ！

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
» RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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