最初は直流回路理論から書いてある

電流、抵抗とコンダクタンスの定義を改めて知る。

次に抵抗の直列、並列接続時の抵抗の算出の仕方、これも既知の範囲。並列の場合はコンダクタンスの総和として考えると記述しやすいことを知る。

これで終わりかと思いきや知らないのがいきなりでてきた。

抵抗のY接続とΔ接続とその等価性について結論だけ書いてある。

Y接続は３つの抵抗(Ra, Rb, Rc)が３つの端子(A, B, C)との間にYの字型に接続されているもの。Δ接続は３つの抵抗(Rab, Rac, Rbc)が３つの端子(A, B, C)にまたがって三角形状に接続されているもの。

Y接続とΔ接続の２つの回路の間で以下の条件が成り立つ場合には２つの回路は等価であるとしている。

Ra = (Rab x Rac)/(Rab+Rac+Rbc)
Rb = (Rab x Rbc)/(Rab+Rac+Rbc)
Rc = (Rac x Rbc)/(Rab+Rac+Rbc)

または

Rab = ((Ra x Rb)+(Rb x Rc)+(Rc x Ra))/Rc
Rac = ((Ra x Rb)+(Rb x Rc)+(Rc x Ra))/Rb
Rbc = ((Ra x Rb)+(Rb x Rc)+(Rc x Ra))/Ra

つまり端子A-B, A-C, B-Cの間の抵抗値がY接続とΔ接続で同じになるということが書いてあると読める。

しかし上記の推測からどうやってこれらの関係式を導くかについては説明されていない。ここで早くも躓いた。疑問である。

本来は、端子間の抵抗値が２つの回路でそれぞれ等しいということであるので

A-B間の抵抗値が等しい場合以下が成立するはず

Ra+Rb = (Rab x (Rac+Rbc))/(Rab+Rac+Rbc)

A-C間の抵抗値が等しい場合以下が成立するはず

Ra+Rc = (Rac x (Rab+Rbc))/(Rab+Rac+Rbc)

B-C間の抵抗値が等しい場合以下が成立するはず

Rb+Rc = (Rbc x (Rab+Rac))/(Rab+Rac+Rbc)

ここからRa, Rb, RcについてRab, Rac, Rbcだけの関係式が導出できるはずである。

いろいろ展開したり式を置換したりしたが簡単には導出できない。

諦めかけたが、ふと３つの式を組み合わせることでRa, Rb, Rcについてそれぞれ導き出せることを発見した。

Ra+RbにRa+Rcを加えたものからRb+Rcを差し引けば2Raが残るはずである。

Ra+Rb+Ra+Rc-(Rb+Rc) =
(Rab x (Rac+Rbc))/(Rab+Rac+Rbc) +
(Rac x (Rab+Rbc))/(Rab+Rac+Rbc) -
(Rbc x (Rab+Rac))/(Rab+Rac+Rbc)

分母は共通なので

2Ra = (Rab x Rac + Rab x Rbc + Rac x Rab + Rac x Rbc -
Rbc x Rab - Rbc x Rac)/(Rab+Rac+Rbc)
= (Rab x Rac + Rac x Rab)/(Rab+Rac+Rbc)
= 2 x (Rab x Rac)/(Rab+Rac+Rbc)
故に
Ra = (Rab x Rac)/(Rab+Rac+Rbc)

Rb, Rcについても同様にして導出できる。もっと簡単な方法があるような気がするがこれで良しとしよう。

ここまではよかったが、後半のRab, Rac, RbcのRa, Rb, Rcとの関係式がまだ導きだせないでいる。

また日を改めて考えてみよう。

Ra = (Rab x Rac)/(Rab+Rac+Rbc)
Rb = (Rab x Rbc)/(Rab+Rac+Rbc)
Rc = (Rac x Rbc)/(Rab+Rac+Rbc)

からそれぞれ

Rab = Ra x (Rab+Rac+Rbc)/Rac = Rb x (Rab+Rac+Rbc)/Rbc
Rac = Ra x (Rab+Rac+Rbc)/Rab = Rc x (Rab+Rac+Rbc)/Rbc
Rbc = Rb x (Rab+Rac+Rbc)/Rab = Rc x (Rab+Rac+Rbc)/Rac

ここで、

Rab = Ra x (Rab+Rac+Rbc)/Racの分母を
Rc x (Rab+Rac+Rbc)/Rbcで
Rab = Rb x (Rab+Rac+Rbc)/Rbcの分母を
Rc x (Rab+Rac+Rbc)/Racでそれぞれ置き換えると(Rab+Rac+Rbc)の項が消え

Rab = (Ra x Rbc)/Rc
Rab = (Rb x Rac)/Rc

となる。これにより

Rab/Rbc = Ra/Rc
Rab/Rac = Rb/Rc

または

Rbc/Rab = Rc/Ra
Rac/Rab = Rc/Rb

が導かれる

ここでRacの式を分母で分子を割ると

Rac = Ra x (Rab+Rac+Rbc)/Rab
= Ra x (1+Rac/Rab+Rbc/Rab)

となるので分数部分をそれぞれ置き換えると

Rac = Ra x (1+Rc/Rb+Rc/Ra)
= Ra x ((Ra x Rb)+(Ra x Rc)+(Rb x Rc))/(Ra x Rb)
= ((Ra x Rb)+(Ra x Rc)+(Rb x Rc))/Rb

となり、同様の手順でRab, RbcについてもRa, Rb, Rcだけの関係式が導き出すことができた。