キルヒホッフの法則の応用としてブリッジ回路が説明されている

端子１，２の間に直列に接続された２つの抵抗Ra, RcそれにRb, Rdが並列に接続されている場合、それぞれの抵抗を流れる電流Ia, Ib, Ic, Idに以下が成り立つ時、ブリッジは平衡状態にあるという。

Ra x Ia = Rb x Ib
Rc x Ic = Rd x Id

この時に各抵抗値には以下の関係が成り立つという。

Ra/Rc = Rb/Rd
Ra x Rd = Rb x Rc

これによって４つの抵抗値のうち３つが既知であれば未知の１つの抵抗値を割り出すことが出来るというもの。抵抗値測定に使われるホイートストーンブリッジ回路の基本らしい。

これもいきなり結論なのでどうやって求めたのか謎である。

平衡状態にあるとき、それぞれの枝電流には以下の関係が成り立つはず。

Ia = Ic
Ib = Id

キルヒホッフの第一の法則から

I = Ia + Ib = Ic + Id

ここで電流Iは端子１，２間を流れる電流なので、端子１、２間の電圧降下Eを端子１，２間の合成抵抗で割った値となるはず。

端子１，２間の合成抵抗は２つの直列抵抗を並列接続したものなので以下の様に求められる。

R = (Ra + Rc) x (Rb + Rd)/((Ra + Rc) + (Rb + Rd))

枝電流法によって各枝電流は

Ia = Ic = E x (Rb + Rd)/((Ra + Rc) + (Rb + Rd))
Ib = Id = E x (Ra + Rc)/((Ra + Rc) + (Rb + Rd))

の関係が成り立つ

ここで先の平衡時の条件式の枝電流を上記の式で置き換えると

Ra x Ia = Rb x Ib
= Ra x E x (Rb + Rd)/((Ra+Rc)+(Rb+Rd))
= Rb x E x (Ra + Rc)/((Ra+Rc)+(Rb+Rd))
Rc x Ic = Rd x Id
= Rc x E x (Rb + Rd)/((Ra+Rc)+(Rb+Rd))
= Rd x E x (Ra + Rc)/((Ra+Rc)+(Rb+Rd))

これらは共通項が相殺されるのでそれぞれ

Ra x (Rb + Rd) = Rb x (Ra + Rc)
Rc x (Rb + Rd) = Rd x (Ra + Rc)

展開すると

Ra x Rb + Ra x Rd = Rb x Ra + Rb x Rc

Ra x Rbが相殺され

Ra x Rd = Rb x Rc

同様に

Rc x Rb + Rc x Rd = Rd x Ra + Rd x Rc

Rc x Rdが相殺され

Rc x Rb = Rd x Ra

どちらからも

Ra/Rc = Rb/Rd

が導きだされる。

Ra x Ia = Rb x Ib
Rc x Ic = Rd x Id

が成り立つとき

Ia = Ic
Ib = Id

なのだから

Ra x Ic = Rb x Id
Rc x Ia = Rd x Ib

でもあるわけで

Ib/Ia = Ra/Rb = Rc/Rd
Id/Ic = Rc/Rd = Ra/Rb

どちらからも

Ra x Rd = Rb x Rc

が導き出され

Ra/Rc = Rb/Rd

ということになる。