x軸上の２点(-d,0,0),(d,0,0)に等量の２電荷がおかれたときの電気力線は、



で与えられることを示せ、ただし両電荷が同符号ならば+、異符号ならば-をとる。

というもの。

もちろん前問の結果を利用すれば容易いが、別のアプローチはないかね？

なかなか思いつかないので、問題文の意味が正しいか実際に電気力線をMaximaを使って描画してみようじゃないかと、

(1) ２つの点電荷が互いに逆極性の場合





点電荷が置かれている(1,0)と(-1,0)では電気力線の式の分母が0になって計算できないので、ちょうどそこを通る力線は計算しないように描画範囲を微調整する必要があった。

互いに逆極性だと引っ張りあうので、互いの電気力線が重なりあって＋極からー極へ向かう（電気力線の定義上そういう流れ）。

上はz=0のx-y平面上で見た電気力線になるが、三次元では曲面である。





Maximaで同じ電界ベクトル場を別の方法で描画すると、



ということになり、描画されている電界ベクトルは電気力線上の接線の方向と一致してしていることがわかる。

(2) ２つの点電荷が互いに同極性の場合





同じ極性だと反発しあうので、それぞれの電気力線は交わることなく、無限遠点に向かうのが良くわかる。

上はz=0のx-y平面上の電気力線だが、３次元では曲面になる。






同様にMaximaでベクトル場を苦労して描画すると、



互いに同じ極性だと、縦軸と横軸で電界が0になるところがあり、そうすると正規化の際にベクトルの大きさが0になってゼロ除算が発生するので、そこだけ描画を避ける必要があった。

確かに電気力線を表しているな。

ということは解説の時に学んだ電気力線の微分方程式の解がこれだということを示せばいいんだな。

代数的な証明は後回しにして、電気力線上で接線を引くとその傾きは電界の向きと平行であることをMaximaでプロットして確かめてみよう。

さて時間稼ぎで回り道をしてきたが、そろそろ本題に取りかからないといけない。

アプローチとして思いつくのは、

(1) 一般の電気力線の微分方程式を境界条件を与えて解くと題意の式が解として得られることを示す。

(2) 等電位線の方程式を与えて、それと直交する曲線（電気力線）が満たす微分方程式を解いて題意の式が解として得られることを示す。

(3) 等電位曲面の方程式を与えて、それと直交する曲面（電束面）が満たす微分方程式を解いて題意の式が解として得られることを示す。

どちらかというと(1)が易しそうだが、(2)も電位の式は簡単なので脈はあるな。厳密には(3)なんだろうけど、難し過ぎる（　´д｀）

厳密に考えると、

考え中。

題意の電気力線の方程式は、陰関数という形をしている。

多くの曲線はx座標を与えると複数のy座標を持つため、一価関数という形で表すことができないためである。

題意の式は任意の電気力線上の座標が満たす必要条件を示すことになる。

グラフを描いてわかるのは、電気力線上の任意の接線の傾きは電界ベクトルの方向と一致しているということである。

なので題意の式を微分すると電界の成分が得られるのであれば、それは電気力線の方程式の必要条件の一つを満足することになる。

更に題意の式で描かれる曲線と直交する任意の曲線は等電位線と一致することがもうひとつの必要条件である。

かなり数学上はレアで、重箱の隅みたいな議論になるので、薄い数学書では扱っていないか、とりあえず触れておくだけという参考書籍が多いのが事実である。

なので最近の電磁気学の書籍では、電気力線の議論には深入りせず、Maxwell方程式で出てくる電束密度に触れるだけで話題にもださないという傾向があるようだ。

(2024.04.02)
ふう、今朝夢で一瞬答えの一歩手前まで解いた気がしたので、思い出して計算してみた。

３次元だと難しいので、z=0のx-y平面の電気力線に関する陰関数の局所微分係数が下記の電気力線の微分方程式と等価であることを示す。



題意の電気力線の方程式をz=0のx-y平面の曲線に限定して、以下のように陰関数として定義する。



電気力線上の任意の座標(x,y)近傍では、yをxの一価関数gとして扱うことができるとすると、



これをxで微分すれば、



ということになる。

これをdg/dxについて解いて、y=g(x)と置き換えれば、電気力線上の接線の傾きであるdy/dxを得ることになる。

面倒なのでMaximaで解くと、



ということになる。

上の結果の分子と分母をそれぞれ以下の式で割る(意図的に1で除する）ことで分子と分母はそれぞれ、電界のy成分とx成分となる。これが今朝の夢で見たヒント。





これはz=0のx-y平面上の電気力線の微分方程式と等価であるから、題意の式は電気力線を与えていることを示す。

やったよﾏﾏﾝ(ノД`)

３次元表現で同じことを示すのは読者の課題としよう（´∀｀　）