次ぎは再びBoucherotの回路



周波数に無関係に合成インピーダンスが一定になるR,L,Cの条件を求めよというもの。これも簡単そうだが実は難しい。

求める未知数がR,L,Cと三つあるので少なくとも３つの式をたてないといけない。今までは未知数は２つだけだったので因数分解できればそれで解けたのだが。

合成インピーダンスは

Z=R+1/(1/(R+1/jωC)+1/(R+jωL))

(%i41) Z=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C)))+R;
(%o41) Z=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C)))+R
(%i42) factor(%);
(%o42) Z=(3*o*C*R^2+2*%i*o^2*C*L*R-2*%i*R+o*L)/(2*o*C*R+%i*o^2*C*L-%i)
(%i43) rectform(%);
(%o43) Z=(2*o*C*R*(3*o*C*R^2+o*L)-(1-o^2*C*L)*(2*o^2*C*L*R-2*R))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)+(%i*((1-o^2*C*L)*(3*o*C*R^2+o*L)+2*o*C*R*(2*o^2*C*L*R-2*R)))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)

Z=(2*ω*C*R*(3*ω*C*R^2+ω*L)-(1-ω^2*C*L)*(2*ω^2*C*L*R-2*R))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)+j(((1-ω^2*C*L)*(3*ω*C*R^2+ω*L)+2*ω*C*R*(2*ω^2*C*L*R-2*R)))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)

合成インピーダンスが周波数によらず一定になることから、ω=0を代入すると

(%i44)
subst(0, o, Z=(2*o*C*R*(3*o*C*R^2+o*L)-(1-o^2*C*L)*(2*o^2*C*L*R-2*R))/(4*o^2*C^2*R^2
+(o^2*C*L-1)^2)+(%i*((1-o^2*C*L)*(3*o*C*R^2+o*L)+2*o*C*R*(2*o^2*C*L*R-2*R)))/(4*o^2*C^2*R^2
+(o^2*C*L-1)^2));
(%o44) Z=2*R

ということになる。この条件を満たすR,L,Cを解けばよい。

虚数部は０なることから

(1-ω^2*C*L)*(3*ω*C*R^2+ω*L)+2*ω*C*R*(2*ω^2*C*L*R-2*R)=0

整理すると

(ω^2*C*L-1)*(C*R^2-L)=0

従ってR,L,Cは固定値なので

L=C*R^2

また実数部が2*Rになることから

(2*ω*C*R*(3*ω*C*R^2+ω*L)-(1-ω^2*C*L)*(2*ω^2*C*L*R-2*R))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)=2*R

整理すると

L-C*R^2=0

従って

L=C*R^2

虚数部と実数部のどちらでも０になる条件式を因数分解していくと答えが得られた。

周波数によらず固定になるパターンではいきなりω=0を代入して合成インピーダンス値を得てしまうのは我ながら良いアイデアだった。

著者の解は回路のBoucherotの回路の部分だけに着目して虚数部が０になる条件から答えを得ている。

次ぎの問題は趣向が変わって、RC並列回路とRC直列回路とで等価になる条件を示せというもの



それぞれのインピーダンスの実数部と虚数部が同じになれば等価であると言える。

RC並列回路の合成インピーダンスは

Z1=1/(1/R+jωC)

(%i70) Z1=1/(1/R+%i*o*C);
(%o70) Z1=1/(1/R+%i*o*C)
(%i71) rectform(%);
(%o71) Z1=1/((1/R^2+o^2*C^2)*R)-(%i*o*C)/(1/R^2+o^2*C^2)

Z1=1/((1/R^2+ω^2*C^2)*R)-jωC/(1/R^2+ω^2*C^2)

一方RC直列回路の合成インピーダンスは

Z2=R0+1/jωC0

(%i72) Z2=R0+1/(%i*o*C0);
(%o72) Z2=R0-%i/(o*C0)

Z2=R0-j/(ω*C0)

従って実数部と虚数部が等しいとおくと

1/((1/R^2+ω^2*C^2)*R)=R0

ωC/(1/R^2+ω^2*C^2)=1/(ω*C0)

これらを整理すると

(ω^2*C^2*R^2+1)*R0-R=0

ω^2*C*C0*R^2-ω^2*C^2*R^2+1=0

この二つをR0,C0に関する連立方程式として解くと

(%i87) solve([1/((1/R^2+o^2*C^2)*R)=R0,(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2)=1/(o*C0)],[R0,C0]);
(%o87) [[R0=R/(o^2*C^2*R^2+1),C0=(o^2*C^2*R^2+1)/(o^2*C*R^2)]]

R0=R/(ω^2*C^2*R^2+1)

C0=(ω^2*C^2*R^2+1)/(ω^2*C*R^2)

ということになる。

著者の解も基本的に同じアプローチである。

次ぎの問題も等価回路、今度はRL並列回路と等価なインピーダンスを持つRL直列回路を求めよというもの



これも同じように合成インピーダンスの実効抵抗と実効リアクタンスが等しくなる条件から解を導く

RL並列回路の合成インピーダンスは

Z1=1/(1/R+1/jωL)

(%i122) Z1=1/(1/R+1/(%i*o*L));
(%o122) Z1=1/(1/R-%i/(o*L))
(%i123) rectform(%);
(%o123) Z1=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)+%i/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))

Z1=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)+j/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))

RL直列回路の合成インピーダンスは

Z2=R0+jω*L0

従って実数部がそれぞれ等しくなることから

R0=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)

(%i124) R0=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R);
(%o124) R0=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)
(%i125) factor(%);
(%o125) R0=(o^2*L^2*R)/(R^2+o^2*L^2)

従って

R0=(ω^2*L^2*R)/(R^2+ω^2*L^2)

次ぎに虚数部がそれぞれ等しくなることから

ω*L0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))

(%i126) o*L0=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)));
(%o126) o*L0=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))
(%i127) solve([o*L0=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))], [L0]);
(%o127) [L0=(L*R^2)/(R^2+o^2*L^2)]

L0=(L*R^2)/(R^2+ω^2*L^2)

ということになる。

次ぎも等価回路な問題。だが少しひねってある。



周波数によってこの回路の合成インピーダンスは誘導性になったり容量性になったりするらしい。それを示し等価なR0,L0,C0を求めよというもの。

合成インピーダンスの式は

Z=1/jωC+1/(1/R+1/jωL)

(%i1) Z=1/(%i*o*C)+1/(1/R+1/(%i*o*L));
(%o1) Z=1/(1/R-%i/(o*L))-%i/(o*C)
(%i2) rectform(%);
(%o2) Z=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)+%i*(1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C))

Z=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)+j(1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C))

実効リアクタンス

1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)

が正の時に誘導性、負の時に容量性となることがわかる。


従って誘導性の場合の等価回路の合成インピーダンス

Z1=R0+jωL0

と実効抵抗及び実効リアクタンスが共に正で等しいことから

R0=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)
=ω^2*L^2*R/(R^2+ω^2*L^2)

ωL0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)

∴L0=1/(ω^2*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω^2*C)
=1/(ω^2*L/R^2+1/L)-1/(ω^2*C)
=L*R^2/(R^2+ω^2*L^2)-1/(ω^2*C)

ということになる。

また容量性となる場合は

Z2=R0+1/jωC0
=R0-j/ωC0

実効抵抗と実効リアクタンスが等しいとすると

R0=ω^2*L^2*R/(R^2+ω^2*L^2)

-1/ωC0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)

(%i3) -1/(o*C0)=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C);
(%o3) -1/(o*C0)=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C)
(%i4) solve([-1/(o*C0)=1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C)], [C0]);
(%o4) [C0=-(C*R^2+o^2*C*L^2)/((o^2*C*L-1)*R^2-o^2*L^2)]

C0=(C*R^2+ω^2*C*L^2)/(ω^2*L^2-(ω^2*C*L-1)*R^2)
=C*(R^2+ω^2*C*L^2)/(ω^2*L^2+(1-ω^2*C*L)*R^2)

ということになる。

次ぎも等価回路。どちらもLC直列とLC並列が合体したような回路。



等価回路では実効抵抗と実効リアクタンスが等しいことから

片方の合成インピーダンスは

Z1=jωL1+1/(1/jωL2+jωC1)

(%i13) Z1=%i*o*L1+1/(1/(%i*o*L2)+%i*o*C1);
(%o13) Z1=1/(%i*o*C1-%i/(o*L2))+%i*o*L1
(%i14) rectform(%);
(%o14) Z1=%i*(o*L1-1/(o*C1-1/(o*L2)))

Z1=j(ω*L1-1/(ω*C1-1/(ω*L2)))

もう片方の合成インピーダンスは

Z2=1/(1/(jωL3+1/jωC2)+1/jωL4)

(%i15) Z2=1/(1/(%i*o*L3+1/(%i*o*C2))+1/(%i*o*L4));
(%o15) Z2=1/(1/(%i*o*L3-%i/(o*C2))-%i/(o*L4))
(%i16) rectform(%);
(%o16) Z2=-%i/(-1/(o*L4)-1/(o*L3-1/(o*C2)))

Z2=j/(1/(ω*L4)+1/(ω*L3-1/(ω*C2)))

どちらも実効抵抗は０で実効リアクタンスのみなので

(ω*L1-1/(ω*C1-1/(ω*L2)))=1/(1/(ω*L4)+1/(ω*L3-1/(ω*C2)))

が成り立つL4,L3,C2を求めれば良いことになる

しかし３つの未知数に対して式が一つしかない。

どうすんだこれ。

仕方ないのでインピーダンスの絶対値を求めてみると

(%i27) Z1=%i*(o*L1-1/(o*C1-1/(o*L2)));
(%o27) Z1=%i*(o*L1-1/(o*C1-1/(o*L2)))
(%i28) abs(%);
(%o28) abs(Z1)=abs(1/(o*C1-1/(o*L2))-o*L1)
(%i29) factor(%);
(%o29) abs(Z1)=(abs(o)*abs((o^2*C1*L1-1)*L2-L1))/abs(o^2*C1*L2-1)

|Z1|=ω*((ω^2*C1*L1-1)*L2-L1)/(ω^2*C1*L2-1)

(%i30) Z2=1/(1/(%i*o*L3-%i/(o*C2))-%i/(o*L4));
(%o30) Z2=1/(1/(%i*o*L3-%i/(o*C2))-%i/(o*L4))
(%i31) abs(%);
(%o31) abs(Z2)=1/abs(1/(o*L4)+1/(o*L3-1/(o*C2)))
(%i32) factor(%);
(%o32) abs(Z2)=(abs(o)*abs(o^2*C2*L3-1)*abs(L4))/abs(o^2*C2*L4+o^2*C2*L3-1)

|Z2|=ω*(ω^2*C2*L3-1)*L4/(ω^2*C2*L4+ω^2*C2*L3-1)
=ω*(ω^2*C2*L3*L4-L4)/(ω^2*C2*(L3+L4)-1)

ここで

|Z1|=ω*((ω^2*C1*L1-1)*L2-L1)/(ω^2*C1*L2-1)
=ω*(ω^2*C1*L1*L2-(L1+L2))/(ω^2*C1*L2-1)

なので|Z1|=|Z2|であるからには分子と分母は等しくなければならない

ω*(ω^2*C1*L1*L2-(L1+L2))=ω*(ω^2*C2*L3*L4-L4)

ω^2*C1*L2-1=ω^2*C2*(L3+L4)-1

従って

C1*L1*L2=C2*L3*L4

L1+L2=L4

C1*L2=C2*(L3+L4)

これらの３つが成り立つことからこれをL3,C2,L4に関する連立方程式として解くと

(%i65) solve([C1*L1*L2=C2*L3*L4,L1+L2=L4,C1*L2=C2*(L3+L4)],[L3,C2,L4]);
(%o65) [[L3=(L1*L2+L1^2)/L2,C2=(C1*L2^2)/(L2^2+2*L1*L2+L1^2),L4=L2+L1]]
(%i66) factor(%);
(%o66) [[L3=(L1*(L2+L1))/L2,C2=(C1*L2^2)/(L2+L1)^2,L4=L2+L1]]

従って

L3=(L1*(L2+L1))/L2

C2=(C1*L2^2)/(L2+L1)

L4=L2+L1

ということになる。なんだ簡単じゃないか。

著者の解はインピーダンスの式の形の相似性に着眼して同様の方程式を導いて順番に消去法で答えを得ている。

次ぎもひねった等価回路の問題



どっかで見たような回路の中点を閉じても開いても定抵抗回路となるようなω、R,L,Cの関係を導けというもの

合成インピーダンスが定抵抗となるのは実効リアクタンスが０となるωを求めればよいのでスイッチを開いた状態でのインピーダンス

Z1=1/(1/(R+1/jωC)+1/(R+jωL))

(%i2) Z1=1/(1/(R+1/(%i*o*C))+1/(R+%i*o*L));(%o2) Z1=1/(1/(R+%i*o*L)+1/(R-%i/(o*C)))(%i3) factor(%);(%o3) Z1=((R+%i*o*L)*(o*C*R-%i))/(2*o*C*R+%i*o^2*C*L-%i)
(%i7) rectform(%);(%o7) Z1=(R*(2*o^2*C^2*R^2-o^2*C*L+1)-o*L*(o*C*(1-o^2*C*L)*R-2*o*C*R))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)+(%i*(o*L*(2*o^2*C^2*R^2-o^2*C*L+1)+R*(o*C*(1-o^2*C*L)*R-2*o*C*R)))/(4*o^2*C^2*R^2+(o^2*C*L-1)^2)(%i8) factor(%);(%o8) Z1=(2*o^2*C^2*R^3+%i*o^3*C^2*L*R^2-%i*o*C*R^2+o^4*C^2*L^2*R+R-%i*o^3*C*L^2+%i*o*L)/(4*o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)(%i9) rectform(%);(%o9) Z1=(2*o^2*C^2*R^3+o^4*C^2*L^2*R+R)/(4*o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)+(%i*(o^3*C^2*L*R^2-o*C*R^2-o^3*C*L^2+o*L))/(4*o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)

整理すると

Z1=(2*ω^2*C^2*R^3+ω^4*C^2*L^2*R+R)/(4*ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)+j(ω^3*C^2*L*R^2-ω*C*R^2-ω^3*C*L^2+ω*L)/(4*ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)

インピーダンスが定抵抗になるには虚数部が０にならなければいけないので

ω^3*C^2*L*R^2-ω*C*R^2-ω^3*C*L^2+ω*L
=ω*(ω^2*C^2*L*R^2-C*R^2-ω^2*C*L^2+L)
=ω*(R^2*C*(ω^2*C*L-1)-L*(ω^2*C*L-1))
=ω*((R^2*C-L)*(ω^2*C*L-1))
=0

従って

R^2*C-L=0

ω^2*C*L-1=0

これをL,Cに関する連立方程式として解くと

(%i11) solve([o^2*C*L-1,C*R^2-L],[L,C]);
(%o11) [[L=R/o,C=1/(o*R)],[L=-R/o,C=-1/(o*R)]]

L=R/ω

C=1/(ω*R)

ということになる。

またスイッチを閉じた場合の合成インピーダンス

Z2=1/(1/R+1/jωL)+1/(jωC+1/R)

(%i14) Z2=1/(1/R+1/(%i*o*L))+1/(%i*o*C+1/R);
(%o14) Z2=1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C)
(%i15) factor(%);
(%o15) Z2=-(R*(%i*o^2*C*L*R-%i*R+2*o*L))/((%i*R-o*L)*(%i*o*C*R+1))
(%i16) rectform(%);
(%o16) Z2=-(%i*R*(-R*((o*C*R*(o^2*C*L*R-R))/(o^2*C^2*R^2+1)+(2*o*L)/(o^2*C^2*R^2+1))-o*L*((o^2*C*L*R-R)/(o^2*C^2*R^2+1)-(2*o^2*C*L*R)/(o^2*C^2*R^2+1))))/(R^2+o^2*L^2)-
(R*(R*((o^2*C*L*R-R)/(o^2*C^2*R^2+1)-(2*o^2*C*L*R)/(o^2*C^2*R^2+1))-o*L*((o*C*R*(o^2*C*L*R-R))/(o^2*C^2*R^2+1)+(2*o*L)/(o^2*C^2*R^2+1))))/(R^2+o^2*L^2)
(%i17) factor(%);
(%o17) Z2=(R*(%i*o^3*C^2*L*R^3-%i*o*C*R^3+o^4*C^2*L^2*R^2+R^2-%i*o^3*C*L^2*R+%i*o*L*R+2*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))
(%i18) rectform(%);
(%o18) Z2=(%i*R*(o^3*C^2*L*R^3-o*C*R^3-o^3*C*L^2*R+o*L*R))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))+(R*(o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+2*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))

整理すると

Z2=(R*(ω^4*C^2*L^2*R^2+2*ω^2*L^2))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))+jR*(ω^3*C^2*L*R^3-ω*C*R^3-ω^3*C*L^2*R+ω*L*R)/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))
=(R*(ω^4*C^2*L^2*R^2+2*ω^2*L^2))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))+jR*(ω*(ω^2*C*L-1)*R*(C*R^2-L))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))

従ってこちらからも定抵抗になるには

ω^2*C*L-1=0

C*R^2-L=0

を満たすことから同じ答えが得られる。


著者の解はωの条件式をインピーダンスの式に代入しそれぞれのインピーダンスが等しくなるためにはR,L,Cの条件式も満たさなければならないことから２つの条件からL,C,ωの関係を導いている。