やはり磁気エネルギーの式の導出について不安が残る。

相互誘導回路に関してこれほど演習問題を扱っている本は希である。

大抵は単一のトランスだけの問題を扱って終わっている。しかも本来は巻き線の方向によっては二通りの解があるが、ほとんどの本はその片方だけを示すにとどまっている。

L1,L2の２つのコイルが互いに誘導結合していて電圧E1,E2の交流電源がそれぞれ接続されているとすると

jωL1*I1+jωM*I2=E1

jωL2*I2+jωM*I1=E2

という関係が成り立つというもの。実際には相互誘導が互いに磁束を弱め合う方向だと

jωL1*I1-jωM*I2=E1

jωL2*I2-jωM*I1=E2

という関係が成り立つ。

従って本来は

jωL1*I1±jωM*I2=E1

jωL2*I2±jωM*I1=E2

と書くのが良いのかもしれない。ただしMの符号は全式で正負どちらか取り得ないので。２通りしかない。

ここで回路の瞬時値電力を計算すると

p=E1*I1+E2*I2
=(jωL1*I1±jωM*I2)*I1+(jωL2*I2±jωM*I1)*I2
=jωL1*I1^2+jωL2*I2^2±2*jωM*I1*I2

ということになる。従って回路に蓄えられる電磁エネルギーは

wl=(L1*I1^2+L2*I2^2±2*M*I1*I2)/2
=L1*I1^2/2+L2*I2^2/2±M*I1*I2

ということになる。

これと同様に先の問題について解く場合には、巻き線の向きと電流の流れる方向の関係の組み合わせはM1とM2の符号の組み合わせで２×２で４通りあることになる。

-case1-

(R1+jωL1)*I1+jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2+jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I+jωM1*I1+jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2-2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2-M1*M2*I1*I2

-case2-

(R1+jωL1)*I1-jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2+jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I-jωM1*I1+jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2+2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2+M1*M2*I1*I2

-case3-

(R1+jωL1)*I1+jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2-jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I+jωM1*I1-jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2+2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2+M1*M2*I1*I2


-case4-
(R1+jωL1)*I1-jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2-jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I-jωM1*I1-jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2-2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2-M1*M2*I1*I2

ということで結局は

p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2±2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2±M1*M2*I1*I2

ということになる。著者の解はM1*M2の項が＋となるケースなのでそれ自体は間違いではないが、本来はcase2かcase3の関係から導かれなければならないが実際にはcase1の関係を用いているので導出過程でのミスであることは確かである。おろらく一般的にみかける式のように＋であるという思いこみが働いたのかもしれない。

P.S

それぞれのケースに関するMaximaでの導出を以下に示す。

-case1-

(%i43) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M1*I=E1;
(%o43) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I*M1=E1
(%i44) e2:(R2+%i*o*L2)*I2+%i*o*M2*I=E2;
(%o44) I2*(R2+%i*o*L2)+%i*o*I*M2=E2
(%i45) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I+%i*o*M1*I1+%i*o*M2*I2=0;
(%o45) %i*o*I2*M2+%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i46) e4:p=E1*I1+E2*I2;
(%o46) p=E2*I2+E1*I1
(%i47) e5:wl=(p-R1*I1^2-R2*I2^2)/(2*%i*o);
(%o47) wl=-(%i*(-I2^2*R2-I1^2*R1+p))/(2*o)
(%i48) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o48) [[I=-(I2*M2+I1*M1)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1-%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=-
(I2*(-L4-L3)*R2+%i*o*(I2*M2^2+I2*L2*(-L4-L3))+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)-2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2+2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

-case2-

(%i49) e1:(R1+%i*o*L1)*I1-%i*o*M1*I=E1;
(%o49) I1*(R1+%i*o*L1)-%i*o*I*M1=E1
(%i50) e2:(R2+%i*o*L2)*I2+%i*o*M2*I=E2;
(%o50) I2*(R2+%i*o*L2)+%i*o*I*M2=E2
(%i51) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I-%i*o*M1*I1+%i*o*M2*I2=0;
(%o51) %i*o*I2*M2-%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i52) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o52) [[I=(I1*M1-I2*M2)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1+%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=
(I2*(L4+L3)*R2+%i*o*(I2*L2*(L4+L3)-I2*M2^2)+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)+2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2-2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

-case3-

(%i53) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M1*I=E1;
(%o53) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I*M1=E1
(%i54) e2:(R2+%i*o*L2)*I2-%i*o*M2*I=E2;
(%o54) I2*(R2+%i*o*L2)-%i*o*I*M2=E2
(%i55) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I+%i*o*M1*I1-%i*o*M2*I2=0;
(%o55) -%i*o*I2*M2+%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i56) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o56) [[I=-(I1*M1-I2*M2)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1+%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=
(I2*(L4+L3)*R2+%i*o*(I2*L2*(L4+L3)-I2*M2^2)+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)+2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2-2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

-case4-

(%i57) e1:(R1+%i*o*L1)*I1-%i*o*M1*I=E1;
(%o57) I1*(R1+%i*o*L1)-%i*o*I*M1=E1
(%i58) e2:(R2+%i*o*L2)*I2-%i*o*M2*I=E2;
(%o58) I2*(R2+%i*o*L2)-%i*o*I*M2=E2
(%i59) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I-%i*o*M1*I1-%i*o*M2*I2=0;
(%o59) -%i*o*I2*M2-%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i60) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o60) [[I=(I2*M2+I1*M1)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1-%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=-
(I2*(-L4-L3)*R2+%i*o*(I2*M2^2+I2*L2*(-L4-L3))+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)-2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2+2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

インターネットでMutual Inductanceで検索すると英文の資料がいろいろ出てくるけど、中には磁気エネルギーの式が明らかに間違っているものがあった。どっかの大学のDr.なんたらという人が書いたものであってもうっかり鵜呑みは禁物である。

P.S

本屋にいって相互誘導回路の磁気エネルギーを扱っているものを２冊ほど購入。最初は何を言っているのかわからなかったけど、巻き線の方向によって確かに二通りがあることは事実。磁気エネルギーの式については常に正でなければならない条件からL1,L2,Mとの関係が導出できるということ。そのためMの値そのものの符号は式の上にでないようにMの項は正にする暗黙のルールがあるらしい。そうすればすべての式でMの項は正とすることができるので式が一本化できる。

ということで著者はそれを説明せずにMの項の符号を正にした式にしたということらしい。

本によっては相互誘導回路を後に学ぶ２端子対回路網（４端子回路）で詳しく扱う例もみられる。確かにここではまるとまだ先が長いので。

ここからしばらく３０問ほど交流ブリッジ回路の問題。



ブリッジが平衡状態にあるとしてR1,L1の値を求めよというもの。

Z1=R1+jωL1
Z2=R2
Z3=R3-j/ωC3
Z4=-j/ωC4

とするとブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

より

(R1+jωL1)*(-j/ωC4)=R2*(R3-j/ωC3)

展開すると

L1/C4-jR1/ωC4=R2*R3-jR2/ωC3

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないため

L1/C4=R2*R3

∴L1=R2*R3*C4

-R1/ωC4=-R2/ωC3

∴R1=R2*C4/C3

それぞれ値を代入すると

L1=20*300*20*10^-6
=12*10^4*10^-6
=12*10^-2
=0.12 [H]

R1=20*20*10^-6/5*10^-6
=20*20/5
=80 [Ω]

ということになる。

このRL,R,C,RCの要素で構成された交流ブリッジはOwenブリッジと呼ばれているらしい。

次ぎも平衡状態にある交流ブリッジの未知のRL回路の定数を求める問題。



Z1=R1
Z2=R2
Z3=R3+jωL3
Z4=R4+jωL4

平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に代入すると

R1*(R4+jωL4)=R2*(R3+jωL3)

展開すると

R1*R4+jωL4*R1=R2*R3+jωL3*R2

両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないことから

R1*R4=R2*R3

∴R4=R2*R3/R1

ωL4*R1=ωL3*R2

∴L4=L3*R2/R1

それぞれ値を代入すると

R4=4*10^3*60/2*10^3
=4*60/2
=120 [Ω]

L4=20*10^-3*4*10^3/2*10^3
=20*10^-3*4/2
=40*10^-3
=0.040 [H]

ということになる。

著者はR4の数値計算を完全に間違えている。

RとLだけの交流ブリッジはインダクタンスブリッジと呼ぶらしい。

次ぎはRとCだけで構成された有名なWienブリッジの問題。



ブリッジの平衡条件を求め、それによって周波数を求めることが出来ることを示すとともに、平衡時のベクトル図を描けというもの。

前問と同様に

Z1=R1
Z2=R2
Z3=1/(1/R3+jωC3)
Z4=R4-j/ωC4

Z1*Z4=Z2*Z3

R1*(R4-j/ωC4)=R2*(1/(1/R3+jωC3))

展開すると

R1*R4-jR1/ωC4=R2*R3/(1+jωC3*R3)
=R2*R3*(1-jωC3*R3)/(1+ω^2*C3^2*R3^2)
=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)-jωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

従って両辺が等しくなるにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので

R1*R4=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

R1/ωC4=ωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

しかしこれだと簡単に解けない。ウィーンブリッジはこれまでのOwenブリッジやインダクタンスブリッジが直列回路のみだったのと違ってRC並列回路を含んでいるためである。

もうひとつの平衡条件の式

Z1/Z2=Z3/Z4

R1/R2=(1/(1/R3+jωC3))/(R4-j/ωC4)
=1/((1/R3+jωC3)*(R4-j/ωC4))
=1/(R4/R3+C3/C4+j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3))
=(R4/R3+C3/C4-j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3))/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)
=(R4/R3+C3/C4)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ω*C3*R4-1/ωC4*R3)^2)-j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので

R1/R2=(R4/R3+C3/C4)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ω*C3*R4-1/ωC4*R3)^2)

(ωC3*R4-1/ωC4*R3)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)=0

２番目の条件式より

ωC3*R4-1/ωC4*R3=0

∴ω=1/sqrt(C3*C4*R3*R4)

従って１番目の式より

R1/R2=1/(R4/R3+C3/C4)

R4/R3+C3/C4=R2/R1

∴C3/C4=R2/R1-R4/R3

これが平衡条件で、ω=2πfで置き換えると

2πf=1/sqrt(C3*C4*R3*R4)

∴f=1/(2π*sqrt(C3*C4*R3*R4))

と周波数を求めることが出来る。

電源電圧ベクトルEを基準として電圧ベクトル図を描くと

E=(Z1+Z3)*I1=(Z2+Z4)*I2

である関係から電圧ベクトルEはZ1*I1とZ3*I1それにZ2*I2とZ4*I2のそれぞれのベクトルの和で表すことができる。

平衡状態にあるとき

Z1*I1=Z2*I2

Z3*I1=Z4*I2

であることからそれぞれのベクトルはひとつに重なる。

また

Z3*I1=(1/(1/R3+jωC3))*I1
=R3*(1-jωC3*R3)*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)
=R3*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)-jω*C3*R3^2*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

であることから、Z3*I1はI1*R3/(ω^2*C3^2*R3^2+1)と-j*I1*ω*C3*R3^2/(ω^2*C3^2*R3^2+1)の２つの直交ベクトルの合成で表すことができる。

同様に

Z4*I2=(R4+1/jωC4)*I2
=R4*I2-j*I2/ωC4

であることからZ4*I2はR4*I2と-j*I2/ωC4の二つの直交ベクトルの合成で表すことができる。

それぞれを複素平面上に描くと



ということになる。

P.S

よく考えると最初の平衡条件の式

R1*R4=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

R1/ωC4=ωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

これを使っても同じ結果が得られる。ちょっとトリッキーだが２番目の式の両辺にωC4を乗じて

R1=ω^2*C3*C4*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

これを１番目の式に代入

ω^2*C3*C4*R2*R3^2*R4/(1+ω^2*C3^2*R3^2)=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)

ω^2*C3*C4*R2*R3^2*R4=R2*R3

ω^2=R2*R3/C3*C4*R2*R3^2*R4
=1/C3*C4*R3*R4

∴ω=1/sqrt(C3*C4*R3*R4)

これを第一の式に更に代入すると

R1*R4=R2*R3/(1+C3^2*R3^2/C3*C4*R3*R4)
=R2*R3/(1+C3*R3/C4*R4)

両辺に(1+C4*R4/C4*R4)を乗じると

R1*R4*(1+C3*R3/C4*R4)=R2*R3

R1*R4+R1*C3*R3/C4=R2*R3

両辺をR1*R3で割ると

R4/R3+C3/C4=R2/R1

∴C3/C4=R2/R1-R4/R3

と同じ結果が得られる。式が面倒くさく間違え易いだけで解けないことはなかった。

次ぎはMaxwell-Wienブリッジの平衡状態に関する問題。



Z1=R1+jωL1
Z2=R2
Z3=R3
Z4=1/(1/R4+jωC4)

とした場合の交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に代入すると

(R1+jωL1)*(1/(1/R4+jωC4))=R2*R3

(R1+jωL1)*R4/(1+jωC4*R4)=R2*R3

(R1+jωL1)*R4*(1-jωC4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

R4*(R1+ω^2*L1*C4*R4+jωL1-jωC4*R4*R1)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

R4*(R1+ω^2*L1*C4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)+jω*R4*(L1-C4*R4*R1)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

従って両辺が等しいためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので

R4*(R1+ω^2*L1*C4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

ω*R4*(L1-C4*R4*R1)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=0

が成り立つ必要がある。

２番目の式より

L1-C4*R4*R1=0

∴L1=C4*R4*R1

これを１番目の式に適用すると

R4*(R1+ω^2*C4*R4*R1*C4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3

両辺に(1+ω^2*C4^2*R4^2)を乗じて整理すると

R4*R1(1+ω^2*C4^2*R4^2)=R2*R3*(1+ω^2*C4^2*R4^2)

R4*R1=R2*R3

∴R1=R2*R3/R4

ということになる。

前問と同様にベクトル図を描くと電源電圧は

E=(Z1+Z3)*I1
=(Z2+Z4)*I2

平衡条件から

Z1*I1=Z2*I2

Z3*I1=Z4*I2

が成り立つためベクトルは一つに重なる。それぞれの電圧ベクトルは

Z1*I1=(R1+jωL1)*I1

Z2*I2=R2*I2

Z3*I1=R3*I1

Z4*I2=I2*(1/(1/R4+jωC4))
=I2*R4/(1+jωC4*R4)
=I2*R4*(1-jωC4*R4)/(1+ω^2*C4^2*R4^2)
=I2*R4/(1+ω^2*C4^2*R4^2)-jωC4*R4^2*I2/(1+ω^2*C4^2*R4^2)

で表されるので、それらを複素平面に描くと



ということになる。

MaxwellブリッジはWienブリッジと異なり平衡条件が周波数に依存せずにインダクタンスとその抵抗を測定することが出来る。

次ぎはLとCを平衡させる単純な交流ブリッジの問題。



ブリッジが平衡して周波数によらず電流Iが一定となる条件を導けというもの。

一般的な交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

Z1=jωL
Z2=R1
Z3=R2
Z4=-j/ωC

を代入すると

jωL*(-j/ωC)=R1*R2

∴C/L=R1*R2

回路に流れる電流Iは

I=E/Z
=E/(1/(1/(Z1+Z3)+1/(Z2+Z4)))
=E/(1/(Z1+Z2+Z3+Z4)/((Z1+Z3)*(Z2+Z4)))
=E/((Z1+Z3)*(Z2+Z4)/(Z1+Z2+Z3+Z4))
=E*(Z1+Z2+Z3+Z4)/((Z1+Z3)*(Z2+Z4))
=E*(jωL+R1+R2-j/ωC)/((jωL+R2)*(R1-j/ωC))
=E*(R1+R2+j*(ωL-1/ωC))/(R1*R2+L/C+j*(ωL*R1-R2/ωC))

従ってωに依存せずにIが一定であるためには、

(R1+R2)/(R1*R2+L/C)=ωL/ωL*R1=(1/ωC)/(R2/ωC)

整理すると

C*(R1+R2)/(C*R1*R2+L)=1/R1=1/R2

従って

1/R1=1/R2

∴R1=R2

従って

C*(R1+R2)/(C*R1*R2+L)=1/R1

R1=R2なので

C*2*R1/(C*R1^2+L)=1/R1

両辺にR1*(C*R1^2+L)を乗じると

C*2*R1^2=C*R1^2+L

両辺をCで割って整理すると

∴L/C=R1^2

これは先にブリッジの平衡条件から求めた式にR1=R2を適用したものと同じなのでこれがブリッジが平衡状態にあり電流が周波数によらず一定の条件となる。

次ぎは共振回路を持つブリッジの問題。平衡条件から周波数を測定出来ることを導けというもの。



交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に

Z1=R1
Z2=R2
Z3=R3
Z4=R4+j*(ωL4-1/ωC4)

を代入すると

R1*(R4+j*(ωL4-1/ωC4)=R2*R3

R1*R4+j*R1*(ωL4-1/ωC4)=R2*R3

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないことから

R1*R4=R2*R3

R1*(ωL4-1/ωC4)=0

ωL4-1/ωC4=0

両辺にωC4を乗じてωについて解くと

ω^2*L4*C4-1=0

∴ω=1/sqrt(L4*C4)

ω=2πfを代入すると

2πf=1/sqrt(L4*C4)

∴f=1/(2π*sqrt(L4*C4))

ということになる。

今度はHayブリッジと呼ばれる回路で平衡条件の時に周波数が測定できることを示せというもの。



交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

に

Z1=R1-j/ωC1
Z2=R2
Z3=R3
Z4=R4+jωL4

を代入すると

(R1-j/ωC1)*(R4+jωL4)=R2*R3

R1*R4+L4/C1+j*(ωL4*R1-R4/ωC1)=R2*R3

従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくならなければならず

R1*R4+L4/C1=R2*R3

ωL4*R1-R4/ωC1=0

両辺にωC1を乗じてωについて解くと

ω^2*C1*L4*R1-R4=0

∴ω=sqrt(R4/(C1*L4*R1))

ω=2πfを代入すると

2πf=sqrt(R4/(C1*L4*R1))

∴f=(1/2π)*sqrt(R4/(C1*L4*R1))

ということになる。

次ぎはAndersonブリッジの平衡条件を導く問題。



一般的な交流ブリッジとインピーダンス接続構成が異なるので検流計に流れる電流Igが０となる条件を改めて解く必要がある。

以下の関係が成り立つ

(R2+R4+jωL4)*I+R2*I2+(R4+jωL4)*I3=E

(R1+R+1/jωC1)*I1+R*I3+(1/jωC1)*I2=0

(R+R3+R4+jωL4)*I3+R*I1+(R4+jωL4)*I=0

(R2+(1/jωC1))*I2+R2*I+(1/jωC1)*I1=0

Ig=I3-I2

これをI,I1,I2,I3,Igについて解くと

(%i64) e1:(R2+R4+%i*o*L4)*I+R2*I2+(R4+%i*o*L4)*I3=E;
(%o64) I*(R4+R2+%i*o*L4)+I3*(R4+%i*o*L4)+I2*R2=E
(%i65) e2:(R1+R-%i/(o*C1))*I1+R*I3+(-%i/(o*C1))*I2=0;
(%o65) I1*(R1+R-%i/(o*C1))+I3*R-(%i*I2)/(o*C1)=0
(%i66) e3:(R+R3+R4+%i*o*L4)*I3+R*I1+(R4+%i*o*L4)*I=0;
(%o66) I3*(R4+R3+R+%i*o*L4)+I*(R4+%i*o*L4)+I1*R=0
(%i67) e4:(R2+(-%i/(o*C1)))*I2+R2*I+(-%i/(o*C1))*I1=0;
(%o67) I2*(R2-%i/(o*C1))+I*R2-(%i*I1)/(o*C1)=0
(%i68) e5:Ig=I3-I2;
(%o68) Ig=I3-I2
(%i69) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,I1,I2,I3,Ig]);
(%o69) [[I=((E*(o*(C1*R1+C1*R)-%i)*R2+%i*E*(-R1-R))*R4+R2*
(E*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R))+E*L4*(%i*o^2*(C1*R1+C1*R)+o))+%i*E*(R1*(-R3-R)-R*R3)+o*
E*L4*(R1+R))/((R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),I1=
((E*(o*C1*R-%i)*R2-%i*E*R)*R4+R2*(%i*E*(-R3-R)+E*L4*(%i*o^2*C1*R+o))+o*E*L4*R)/(
(R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),I2=
-((E*(o*(C1*R1+C1*R)-%i)*R2-%i*E*R)*R4+R2*
(E*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R))+E*L4*(%i*o^2*(C1*R1+C1*R)+o))+o*E*L4*R)/(
(R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),I3=
-((E*(o*(C1*R1+C1*R)-%i)*R2+%i*E*(-R1-R))*R4+(E*L4*(%i*o^2*(C1*R1+C1*R)+o)-%i*E*R)*R2+o*E*L4*(R1+R)
)/((R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)),Ig=
(%i*E*R1*R4+E*R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)-%i*R3)-o*E*L4*R1)/(
(R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*
(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3))]]

Igについて整理すると

(%i79)
factor(Ig=(%i*E*R1*R4+E*R2*(o*(R1*(C1*R3+C1*R)+C1*R*R3)-%i*R3)-o*E*L4*R1)/((R2*(o*(R1*(C1*R3
+C1*R)+C1*R*R3)+%i*(-R3-R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4+R2*(L4*(%i*o^2*(R1*(C1*R3+C1*R)
+C1*R*R3)+o*(R3+R1))+%i*(R1*(-R3-R)-R*R3))+o*L4*(R1*(R3+R)+R*R3)));
(%o79) Ig=(E*(%i*R1*R4+o*C1*R1*R2*R3+o*C1*R*R2*R3-%i*R2*R3+o*C1*R*R1*R2-o*L4*R1))/(o*C1*R1*R2*R3*
R4+o*C1*R*R2*R3*R4-%i*R2*R3*R4-%i*R1*R3*R4-%i*R*R3*R4+o*C1*R*R1*R2*R4-%i*R1*R2*R4-%i*R*R1*R4+%i*o^2*
C1*L4*R1*R2*R3-%i*R1*R2*R3+%i*o^2*C1*L4*R*R2*R3-%i*R*R2*R3+o*L4*R2*R3+o*L4*R1*R3+o*L4*R*R3+%i*o^2*C1*L4*
R*R1*R2-%i*R*R1*R2+o*L4*R1*R2+o*L4*R*R1)

Ig=(E*(j*R1*R4+ω*C1*R1*R2*R3+ω*C1*R*R2*R3-j*R2*R3+ω*C1*R*R1*R2-ω*L4*R1))/(ω*C1*R1*R2*R3*R4+ω*C1*R*R2*R3*R4-j*R2*R3*R4-j*R1*R3*R4-j*R*R3*R4+ω*C1*R*R1*R2*R4-j*R1*R2*R4-j*R*R1*R4+j*ω^2*C1*L4*R1*R2*R3-j*R1*R2*R3+j*ω^2*C1*L4*R*R2*R3-j*R*R2*R3+ω*L4*R2*R3+ω*L4*R1*R3+ω*L4*R*R3+j*ω^2*C1*L4*R*R1*R2-j*R*R1*R2+ω*L4*R1*R2+ω*L4*R*R1)

Ig=0となるためには分子が０となれば良いので

j*R1*R4+ω*C1*R1*R2*R3+ω*C1*R*R2*R3-j*R2*R3+ω*C1*R*R1*R2-ω*L4*R1=
ω*(C1*(R1*R2*R3+R*R2*R3+R*R1*R2)-L4*R1)+j*(R1*R4-R2*R3)
=0

となるためには実数部と虚数部が共に０となる必要がある。

C1*(R1*R2*R3+R*R2*R3+R*R1*R2)-L4*R1=0

R1*R4-R2*R3=0

２番目の式から

∴R1*R4=R2*R3

１番目の式から

L4=C1*(R1*R2*R3+R*R2*R3+R*R1*R2)/R1
=C1*(R2*R3+R*R2*R3/R1+R*R2)

ここで

R1=R2*R3/R4

を代入すると

L4=C1*(R2*R3+R*R2*R3/(R2*R3/R4)+R*R2)
=C1*(R2*R3+R*R4+R*R2)
=C1*(R2*R3+R*(R2+R4))

ということになる。

もう一種類のAndersonブリッジの平衡条件に関する問題。



AndersonブリッジはMaxwell-Wienブリッジを６素子に改良したもので、やはり周波数に依存しない平衡条件を持つのが特徴らしい。計測回路の本とかに載っているが、Webで検索するとシンガポールにあるアンダーソン橋のほうがむしろ有名で一杯出てくる。

以下の関係が成り立つ

(R2+1/(1/R4+jωC4))*I-R2*I1-(1/jωC4)*I4=E

(R1+R2+R)*I1-R2*I-R*I2=0

(R+R3+1/jωC3)*I2-R*I1+(1/jωC3)*I3=0

(1/jωC3+R4)*I3+(1/jωC3)*I2+R4*I4=0

(R4+(1/jωC4))*I4+R4*I3-(1/jωC4)*I=0

Ig=I1+I3

これをI,I1,I2,I3,I4,Igに関して解くと

(%i40) e1:(R2+1/(1/R4+%i*o*C4))*I-R2*I1-(-%i/(o*C4))*I3=E;
(%o40) I*(1/(1/R4+%i*o*C4)+R2)-I1*R2+(%i*I3)/(o*C4)=E
(%i41) e2:(R1+R2+R)*I1-R2*I-R*I2=0;
(%o41) I1*(R2+R1+R)-I*R2-I2*R=0
(%i42) e3:(R+R3-%i/(o*C3))*I2-R*I1+(-%i/(o*C3))*I3=0;
(%o42) I2*(R3+R-%i/(o*C3))-I1*R-(%i*I3)/(o*C3)=0
(%i43) e4:(-%i/(o*C3)+R4)*I3+(-%i/(o*C3))*I2+R4*I4=0;
(%o43) I3*(R4-%i/(o*C3))+I4*R4-(%i*I2)/(o*C3)=0
(%i44) e5:(R4+(-%i/(o*C4)))*I4+R4*I3-(-%i/(o*C4))*I=0;
(%o44) I4*(R4-%i/(o*C4))+I3*R4+(%i*I)/(o*C4)=0
(%i45) e6:Ig=I1+I3;
(%o45) Ig=I3+I1
(%i46) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6],[I,I1,I2,I3,I4,Ig]);
(%o46) [[I=((E*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R1-R))+o^3*C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+E*R2*
(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*(R3+R)))*R4^2+(E*
(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R1-R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3))+E*R2*
(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)+%i*o^2*C4^2*(-2*R3-2*R)))*R4+o*C4*E*(R1*(-R3-R)-R*R3)+o*C4*E*R2*(-R3-R))
/((R2*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*
C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I1=(
(E*R2*(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*(R3+R))-%i*o^2*C4^2*E*R)*R4^2+
(E*R2*(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)+%i*o^2*C4^2*(-2*R3-2*R))-o*C4*E*R)*R4+o*C4*E*R2*(-R3-R))/((R2*(C4^2*
(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*C4^3*
(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I2=(
(E*(C4^2*(o^3*C3*R-%i*o^2)+o^3*C4^3*R)*R2+%i*o^2*C4^2*E*(-R1-R))*R4^2+
(E*(C4*(-%i*o^2*C3*R-o)-2*%i*o^2*C4^2*R)*R2+o*C4*E*(-R1-R))*R4-o*C4*E*R*R2)/((R2*(C4^2*
(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*C4^3*
(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I3=-(
(C4^2*E*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R1-R))+E*R2*(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*R))*R4^2+
(C4*E*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R1-R))+E*R2*(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)-2*%i*o^2*C4^2*R))*R4
-o*C4*E*R*R2)/((R2*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*
(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*
(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*
(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*
(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*(R1+R))*R4+R2*
(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),I4=(
(C4^2*E*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R1-R))+E*R2*(C4^2*(o^3*(C3*R3+C3*R)-%i*o^2)+o^3*C4^3*R))*R4^2+
(E*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R1-R))+%i*o^2*C4^2*(R1*(-R3-R)-R*R3))+E*R2*
(C4*(%i*o^2*(-C3*R3-C3*R)-o)+%i*o^2*C4^2*(-R3-2*R)))*R4+o*C4*E*(R1*(-R3-R)-R*R3)+o*C4*E*R2*(-R3-R))/
((R2*(C4^2*(o^3*(R1*(C3*R3+C3*R)+C3*R*R3)+%i*o^2*(-R3-R1-2*R))+C4*(%i*o^2*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*o)+o^3*
C4^3*(R1*(R3+R)+R*R3))+C4*(%i*o^2*(R1*(-2*C3*R3-2*C3*R)-2*C3*R*R3)+o*(-2*R1-2*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-R3-R)-R*R3))*R4^2+(R2*(C4*(%i*o^2*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*(-R3-R1-3*R))+%i*o^2*C4^2*
(R1*(-2*R3-2*R)-2*R*R3)+o*(-C3*R3-C3*R)+%i)+o*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)
+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R)),Ig=(
(C4^2*E*(o^3*(R1*(-C3*R3-C3*R)-C3*R*R3)+%i*o^2*R1)+o^3*C4^3*E*R2*R3)*R4^2+
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+%i*(R1+R))*R4+R2*(o*C4*(R1*(-R3-R)-R*R3)+%i*R))]]
(%i47) factor(%);
(%o47) [[I=(o*C4*E*(o^2*C4^2*R2*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R2*R3*R4^2+o^2*C4^2*R1*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R1*R3*R4^2+o^2*C4^2*
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o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*C4*R*
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2*%i*o^2*C4^2*R1*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*
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%i*R*R4-o*C4*R1*R2*R3-o*C4*R*R2*R3-o*C4*R*R1*R2+%i*R*R2),I2=(o*C4*E*(o^2*C4^2*R*R2*R4^2+o^2*C3*C4*R*R2*
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R*R2))/(o^3*C4^3*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C4^3*R*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R*R2*R3*R4^2-%i*o^2*C4^2*
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%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*C4*R*R3*R4-o*C3*R*R3*R4
-2*%i*o^2*C4^2*R*R1*R2*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-o*C4*R1*R2*R4-3*o*C4*R*R2*R4-o*C3*R*R2*R4+%i*R2*R4-o*C4*
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(o^2*C3*C4*R2*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R1*R3*R4^2+o^2*C3*C4*R*R3*R4^2+o^2*C4^2*R*R2*R4^2+o^2*C3*C4*R*R2*R4^2-%i*o*C4*R2*
R4^2+o^2*C3*C4*R*R1*R4^2-%i*o*C4*R1*R4^2-%i*o*C4*R*R4^2-%i*o*C4*R2*R3*R4-%i*o*C3*R2*R3*R4-%i*o*C4*R1*R3*R4-
%i*o*C3*R1*R3*R4-%i*o*C4*R*R3*R4-%i*o*C3*R*R3*R4-2*%i*o*C4*R*R2*R4-%i*o*C3*R*R2*R4-R2*R4-%i*o*C4*R*R1*R4
-%i*o*C3*R*R1*R4-R1*R4-R*R4-R2*R3-R1*R3-R*R3-R*R2-R*R1))/(o^3*C4^3*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R1*R2*
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R4^2-2*%i*o^2*C3*C4*R*R1*R4^2-2*o*C4*R1*R4^2-2*o*C4*R*R4^2-2*%i*o^2*C4^2*R1*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*
%i*o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*
C4*R*R3*R4-o*C3*R*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R1*R2*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-o*C4*R1*R2*R4-3*o*C4*R*R2*R4-o*C3*
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%i*R*R2),Ig=(o*C4*E*(o^2*C4^2*R2*R3*R4^2-o^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-o^2*C3*C4*R*R3*R4^2-o^2*C3*C4*R*R1*R4^2+%i*o*C4*
R1*R4^2-2*%i*o*C4*R2*R3*R4+%i*o*C3*R1*R3*R4+%i*o*C3*R*R3*R4+%i*o*C3*R*R1*R4+R1*R4-R2*R3))/(o^3*C4^3*R1*
R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R1*R2*R3*R4^2+o^3*C4^3*R*R2*R3*R4^2+o^3*C3*C4^2*R*R2*R3*R4^2-%i*o^2*C4^2*R2*R3*R4^2-2*%i*o^2*
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C4^3*R*R1*R2*R4^2+o^3*C3*C4^2*R*R1*R2*R4^2-%i*o^2*C4^2*R1*R2*R4^2-2*%i*o^2*C4^2*R*R2*R4^2-2*%i*o^2*C3*C4*R*R2*R4^2-2*
o*C4*R2*R4^2-%i*o^2*C4^2*R*R1*R4^2-2*%i*o^2*C3*C4*R*R1*R4^2-2*o*C4*R1*R4^2-2*o*C4*R*R4^2-2*%i*o^2*C4^2*R1*R2*R3*R4
-%i*o^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R2*R3*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-o*C4*R2*R3*R4-o*C3*R2*R3*R4-o*C4*
R1*R3*R4-o*C3*R1*R3*R4-o*C4*R*R3*R4-o*C3*R*R3*R4-2*%i*o^2*C4^2*R*R1*R2*R4-%i*o^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-o*C4*R1*
R2*R4-3*o*C4*R*R2*R4-o*C3*R*R2*R4+%i*R2*R4-o*C4*R*R1*R4-o*C3*R*R1*R4+%i*R1*R4+%i*R*R4-o*C4*R1*R2*R3-
o*C4*R*R2*R3-o*C4*R*R1*R2+%i*R*R2)]]

Igに関して整理すると

Ig=(ω*C4*E*(ω^2*C4^2*R2*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R1*R4^2+j*ω*C4*
R1*R4^2-2*j*ω*C4*R2*R3*R4+j*ω*C3*R1*R3*R4+j*ω*C3*R*R3*R4+j*ω*C3*R*R1*R4+R1*R4-R2*R3))/(ω^3*C4^3*R1*
R2*R3*R4^2+ω^3*C3*C4^2*R1*R2*R3*R4^2+ω^3*C4^3*R*R2*R3*R4^2+ω^3*C3*C4^2*R*R2*R3*R4^2-j*ω^2*C4^2*R2*R3*R4^2-2*j*ω^2*
C3*C4*R2*R3*R4^2-j*ω^2*C4^2*R1*R3*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-j*ω^2*C4^2*R*R3*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R*R3*R4^2+ω^3*
C4^3*R*R1*R2*R4^2+ω^3*C3*C4^2*R*R1*R2*R4^2-j*ω^2*C4^2*R1*R2*R4^2-2*j*ω^2*C4^2*R*R2*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R*R2*R4^2-2*
ω*C4*R2*R4^2-j*ω^2*C4^2*R*R1*R4^2-2*j*ω^2*C3*C4*R*R1*R4^2-2*ω*C4*R1*R4^2-2*ω*C4*R*R4^2-2*j*ω^2*C4^2*R1*R2*R3*R4
-j*ω^2*C3*C4*R1*R2*R3*R4-2*j*ω^2*C4^2*R*R2*R3*R4-j*ω^2*C3*C4*R*R2*R3*R4-ω*C4*R2*R3*R4-ω*C3*R2*R3*R4-ω*C4*
R1*R3*R4-ω*C3*R1*R3*R4-ω*C4*R*R3*R4-ω*C3*R*R3*R4-2*j*ω^2*C4^2*R*R1*R2*R4-j*ω^2*C3*C4*R*R1*R2*R4-ω*C4*R1*
R2*R4-3*ω*C4*R*R2*R4-ω*C3*R*R2*R4+j*R2*R4-ω*C4*R*R1*R4-ω*C3*R*R1*R4+j*R1*R4+j*R*R4-ω*C4*R1*R2*R3-
ω*C4*R*R2*R3-ω*C4*R*R1*R2+j*R*R2)

平衡条件ではIg=0となるため、Igの分子が０となる条件

ω^2*C4^2*R2*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R1*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R3*R4^2-ω^2*C3*C4*R*R1*R4^2+j*ω*C4*
R1*R4^2-2*j*ω*C4*R2*R3*R4+j*ω*C3*R1*R3*R4+j*ω*C3*R*R3*R4+j*ω*C3*R*R1*R4+R1*R4-R2*R3=0

を満たす必要がある。この式を整理すると

ω^2*R4^2*C4*(C4*R2*R3-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))+R1*R4-R2*R3+j*ω*R4*(C4*(R1*R4-2*R2*R3)+C3*(R1*R3+R*(R3+R1)))=0

実数部と虚数部がそれぞれ０でなければならないので

実数部より

C4*R2*R3-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))=0

∴C4=C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R2*R3)

R1*R4-R2*R3=0

∴R1*R4=R2*R3

虚数部より

C4*(R1*R4-2*R2*R3)+C3*(R1*R3+R*(R3+R1))=0

C4=-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R1*R4-2*R2*R3)

ここで

R1*R4=R2*R3

を代入すると

C4=-C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R2*R3-2*R2*R3)
=C3*(R1*R3+R*(R3+R1))/(R2*R3)

ということになる。

一瞬Igの式が複雑過ぎて間違ったかと思ったが、良く手で整理すると実数部と虚数部で同じような条件式が浮かび上がってきて光が見えた。