あと残すところ２問、もうすぐだ。次もRL直列回路だが入力が階段関数になっている。

RL直列回路に図のようなパルス波電圧を加えたとき流れる電流を求めよ。



というもの。

これは１９世紀に登場した電信網で電信信号を入力する際の受信端の電流挙動を解析したHeavisideにちなんだ問題である。Heavisideは集中定数回路ではなく今でいう分布定数回路で最初から考えたわけだから偉い。今の人はまず集中定数回路を教わってから最後に分布定数回路を教わるが、歴史的な発生順序はそれとまったく逆である。だからといって歴史的順序で学ぶのが良いと言いたいわけではないが、昔の人の苦労は想像を絶するものがあるということである。

入力波形は単位ステップ関数(Heaviside関数）で表すことができる

時間領域でまず考えると



ということになる。

これを推移定理と変換対をうまく使ってLaplace変換すると



あとはこれをLaplace逆変換するだけ





ということになる。

i(t)は区間[0,∞]で連続で解析接続される。著者の解ではt=Tそれにt=2Tで区間がオーバーラップしていないが、実際にはオーバーラップするのである。

著者は異なる時間シフトした３つのステップ電圧電源(E*U(t),E*U(t-T),-2*E*U(t-2T))毎それぞれの電流i1(t),i2(t),i3(t)の重ね合わせで解を得ている。

いよいよ最後の問題である。ここまで難問と言えるものにぶつからなかったのが者足りないが、最後はRC直列回路に正弦波パルスを入力する問題。

静止状態にあるRC直列回路に図のような余弦波パルス電圧を加えたときに流れる電流を求めよ。



というもの。

これは意外と難問かもしれない。

時間領域で以下の関係が成り立つ



これをLaplace変換すると



これをLaplace逆変換すると



ということになる。

最後の結果は著者と少し違うが、sin(2πf(t-T)-φ)=sin(2πf(t-1/f)-φ)=sin(2πft-2π-φ)=sin(2πft-φ）なので定常項は相殺されてしまうことになる。本当かどうか確かめるのは読者の課題としよう( ´∀`)

ストレートだが大分道に迷った感がある。式が複雑なのでちょっとしたミスが全部を台無しにしてしまう。

Laplace逆変換の時に時間シフト部分は単位ステップ関数と定数1の変換の曖昧性があるため必ず定数1のままではなくしかるべき項には単位ステップ関数を復活させる必要がある。

入力関数に関しては他にも著者と同様に元の関数の負号を反転したものとU(t-T)の積を重ね合わせるというのもある。式が簡単になるかと、t≦Tだけをカットするようにしたがあまり芳しくなかったようだ。

分子の次数が1を超えてしまうため部分分数展開が必要になってしまったが、導関数のLaplace変換に関する性質を使ってもよかったかもしれない。

これにてLaplace変換とその応用演習問題を終える。