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投稿者	スレッド
webadm	投稿日時: 2024-2-5 16:42
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	Gaussの定理著者は何の事前定義もなく、面要素ベクトルdSを用いて、一つの閉曲面内の総電荷をQ、En,Dnを面要素dSのところの外向き法線方向への、E,Dの成分とすると、以下の関係が成り立つことをGaussの定理と定義している。 $\begin{eqnarray}<br />\int\int\,{\bf E}\cdot\,d{\bf S}&=&\int\int\,E_n\,dS=\frac{Q}{\epsilon0}\nonumber<br />\\\int\int\,{\bf D}\cdot\,d{\bf S}&=&\int\int\,D_n\,dS=Q\nonumber<br />\end{eqnarray}$ これだけだと狐に騙されているようで、納得がいかないので自分で考えてみよう。まずもって面素ベクトルとはなんぞや？と考えると大分説明が面倒らしいので著者はそれを省いているか、講義の時に受講生に質問されたら説明すればいいと考えているぽい。図を描いて考えてみよう。任意の曲面上の任意の曲面座標系(u,v)を与え、面要素の任意の座標(x,y,z)は曲面座標u,vを媒体変数とする関数x(u,v)で与えられるとし、du,dvは曲面座標件(u,v)上の面素dSの向きと大きさを与えるベクトルとすると、duとdvの外積は大きさが面素の面積に等しく法線の向きと平行なベクトルdSを与える。 $\begin{eqnarray}<br />dS&=&\left\|d{\bf S}\right\|=\left\|d{\bf u}\times\,d{\bf v}\right\|=\left\|\frac{\partial {\bf S}}{\partial u}\times\frac{\partial {\bf S}}{\partial v}\right\|du\,dv\nonumber<br />\\\int\int\,{\bf E}\cdot\,d{\bf S}&=&\int\int\left({\bf E}\cdot{\bf n}\right)\,dS=\int\int\,{E_n}\,dS=\frac{Q}{\epsilon0}\nonumber<br />\\\int\int\,{\bf D}\cdot\,d{\bf S}&=&\int\int\left({\bf E}\cdot{\bf n}\right)\,dS=\int\int\,D_n\,dS=Q\nonumber<br />\end{eqnarray}$ という意味であることがわかる。さて上の積分等式は成り立つのかね？これも自分で確かめてみよう。一般的な証明には座標軸毎の偏微分係数をテイラー展開して面倒くさい計算をしないといけないぽいので、簡単な点電荷Qに関して成り立つか確認するに止めよう。 $\begin{eqnarray}<br />{\bf E}&=&\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\left\|{\bf r}\right\|^2}\frac{\bf r}{\left\|{\bf r}\right\|}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 問題を簡単にするために、点電荷Qを中心とする球面上の面素に対する立体角dωを導入して立体角を0～4πまで積分することで面積分を計算することにする。 $\begin{eqnarray}<br />\oint_{S}{\bf E}\cdot\,d{\bf S}&=&\oint_{S}\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\left\|{\bf r}\right\|^2}\frac{\bf r}{\left\|{\bf r}\right\|}\cdot\,d{\bf S}\nonumber<br />\\&=&\int_{0}^{4\pi}\frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_0}d\omega=\frac{Q}{\epsilon_0}\nonumber<br />\\\frac{\bf r}{\left\|{\bf r}\right\|}\cdot\,d{\bf S}&=&{\left\|{\bf r}\right\|^2}\,d\omega\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。また電束に関しても上記の結果を利用して、 $\begin{eqnarray}<br />\oint_{S}{\bf D}\cdot\,d{\bf S}&=&\oint_{S}\epsilon_0\,{\bf E}\cdot\,d{\bf S}=\oint_{S}\frac{Q}{4\,\pi\,\left\|{\bf r}\right\|^2}\frac{\bf r}{\left\|{\bf r}\right\|}\cdot\,d{\bf S}\nonumber<br />\\&=&\int_{0}^{4\pi}\frac{Q}{4\,\pi}d\omega=Q\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これでとりあえず納得（´∀｀　）

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題名	投稿者	日時
電気力線とGaussの定理	webadm	2024-2-1 19:51
電気力線と電束線	webadm	2024-2-1 23:58
» Gaussの定理	webadm	2024-2-5 16:42
導体	webadm	2024-2-6 7:25
基本的電荷配位による電界	webadm	2024-2-7 22:40
Poisson方程式とLaplace方程式	webadm	2024-2-9 19:41
ポテンシャルの極値点とEarmshawの定理	webadm	2024-2-14 4:27

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