半径aの球内に電荷Qが一様密度で分布しているとき、その内外に生じる電界を求めよ。というもの。

これはガウスの法則があてはまるし、初期の原子モデルであるトムソンの原子モデルの考え方にもつながる問題。

球外の電界は以前に何度も扱ったので予想はつくけど、球内に関しては初めてだな。



まずはガウスの法則を用いて球の内外の電界を導出してみよう。

半径aの球内の総電荷がQとあるので、球内の電荷密度ρは、



ということになる。

球の外側(r>a)の電界Eouterはガウスの法則から、



ということになる。

球内の総電荷Qを使った式は、あたかも球の中心に電荷Qの点電荷のみがあるのと同じ式になるのに対して、電荷密度ρを使った式は、今までに出てこなかった分子に3があり、πが消えた不思議な形をしている。こちらの形式を載せているテキストも多数ある。


問題は球体内(r
大抵のテキストは上の説明なしでいきなりガウスの法則を用いて球内の電界Einnerを導出している。




ということになる。

つまるところ一様な電荷で満たされた球内の電界は球の中心から球の表面まで中心からの距離に比例して電界強度が増大し、球の表面から外は球の中心からの距離の二乗に反比例するということになる。

ガウスの法則を使わない導出方法は読者の課題としよう（´∀｀　）