一直線上に並んだ点電荷(q1,q2,...,qn)の作る電気力線は、その上の一点と各電荷を結ぶ直線が、一直線となす角を(θ1,θ2,...,θn)とするとき、次の方程式で表されることを示せ。



というもの。

これは題意の解釈が難しいな。

電気力線は電場が存在する場所であればどこでも存在するので、電場内の任意の一点をとっても上の関係式が成り立つことを示せということだろうか？

問題文では点電荷がどのような間隔で並んでいるかも言っていないし、各電荷の極性も任意ということになる。

直線上の点電荷の作る電場は、各点電荷が作る電場の重ね合わせとして得られるが、上記の配置条件が与えられていないので直線上にあるという設定条件だけで、後は任意の定数ということで電場の式を考えるしかないな。

いまいち答えの一歩手前が見えない罠（´Д｀；）

題意の式から、qiの符号は正負もありなので右辺の定数は0のケースも含まれると考えられる。

また、θiも点電荷が並ぶ直線上の点電荷が存在しない場所では、cosθiがすべて1もしくは-1となるので、その場合に題意の式が成り立つことも明らか。

残るは、直線上以外の電気力線上の任意の点においてで題意の式が成立するかを証明すること。

とりあえず、直交座標系で考えてもいいけど、点電荷は一直線上に並んでいるので、それらが作り出す電界は直線の周りで対象であるので、円筒座標系で考えると以下の様な図になる。



ここで、ω1,ω2,...,ωnはそれぞれ点電荷q1,q2,...,qnから見た直線に対して軸対象な電気力線を横切る円盤の立体角とする。
θ1,θ2,...,θnは点電荷q1,q2,...,qnからみた円盤の円周と直線の成す角度となる。

角点電荷から見た円盤上の半径rにある微少幅drの円環の微少立体角dωは、



ということになる。

従って任意の点電荷qnから円板全体を見込む立体角は



ということになる。

ここでようやくcosθnなる要素が出てきたので、これがヒントだな。

さてこっからどうやって答えの一歩手前まで持っていくんだ（；´Д｀）

著者の回答をチラ見すると、軸対象な同じ力線の数は距離によらず不変であることを利用している。

ならば、同じ力線の束が通る円盤の電束密度も同様に距離によらず不変であるとも言える（´ー｀　）

各点電荷から出る電気力線が通る円盤上の電束密度は、各電荷から見た円盤の立体角より、



ということになる。

従ってすべての点電荷による円盤上の電束密度は、



従って、題意の関係が成り立つことが明らか。

まあ、著者の解とは電気力線の数が不変か、電束密度が不変かの違いでしかないけどな（´∀｀　）

勘違いし易いのが、電束密度(electric flux density)というのは元来総電荷を含む球体表面積で割ったものなので、誘電率が関係しないのはわかる。またそれは同じ球体を通る電界に誘電率を乗じたものであることもわかるが、電気力線の数となると、電束密度を誘電率で割った値となるのが腑に落ちない点だ。それはとどの詰まり電界と等しいということか？どうやらそうらしい。

もともと電気力線は、クーロン力の強さは電気力線の数に比例するようにファラデーによって概念的に生み出されたものなので、クーロン力が強い⇒電気力線の数が多いから⇒電界が強いから、ということになる。

まあ、これで良しとしよう。