+q.-qの二つの電荷が点A,Bにあるとき、+qからABに対してθ1の角で出発した電気力線がABの垂直二等分面と交わる点をPとし、∠PAB=αとすると、次の関係のあることを示せ。





またしても直前上の２点電荷が成す電気力線に関する問題。よく考えつくよな。今度も電界と電気力線が等価な概念であることを導く解答を探してみよう。

著者の問題説明のための図が誤解を招き易い。

∠PAB=αの場合、その場合のみ∠PBA=αとなるので、その補角はπ-αとなるので、Pが電気力線上の他の点の場合にはそれは成立しないという点である。

なのでこの問題は一般的なケースではなく、PがAB間の中点を通る平面と電気力線の交点にある場合のみの特赦なケースを扱うものであることに注意する必要がある。

この問題を解くヒントは、直線上の点電荷と電気力線の最初の問題の時に考えた、立体角のことを思い出す必要がある。



電荷qnに関するθnと電荷qnからθnが描く円盤を見た立体角ωnの関係は下記の通りだった。



従って本題意に即した形だと、



ということになる。

問題は題意の式ではα/2という半角が出てくるのだが、三角関数の２倍角の公式を当てはめて考えると、



これを先の立体角の式に代入すると、



ということで題意の式にもあるsin(α/2)でも表すことができることが解る。


話は変わるが、上と良く似た議論が昔読んだことがある、「場の古典論」ランダウ、リフシツ著の第７章の57節にある「広い光線束による結像」に出てくるのを思い出した。

つまるところ、点電荷から出る電束と電気力線の構図は、工学系（ひとつもしくは複数のレンズ）で物体から放たれる光を結像する構図と相似であるためと考えられる。

地球上の生命は人類がそれに気付くずっと何億年も前に眼球としてその理論を実用化していたのには驚かされる。

話を元にもどそう。

直線上の点電荷と電気力線の最初の問題では任意の電気力線が満たす以下の条件式を導出する問題だった。



この問題では、同一電荷量だが異符号な２点電荷が成す電気力線上の２点(A, P)において、上記の式が同値となることを利用すれば良いことになる。

すなわち、



が成り立つことになる。

ここで、先の２倍角の公式を使って二分の一角表現に書き換えると、



という関係が成り立つ。

両辺を開平すれば題意の式が得られる。



P.S

先にcosを二倍角の公式を使ってsin^2の表現にしても同じ結果が得られるはずである。



が同一電気力線上の任意の点で成り立つはずである。

従って、同一電気力線上の２点(A,P)において、



が成り立つことになる。

両辺を開平すれば、題意の式が得られる。



やればできるじゃないか（´∀｀　）

２倍角のcosだけでなく、後で二倍角のsinの公式が必要になってくるのが面倒だけどな。