Gan's blog - フォーラム

メイン > > 電磁気学理論おもちゃ箱 > 電気力線とGaussの定理演習問題

投稿者	スレッド
webadm	投稿日時: 2024-4-10 4:51
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089	もうひとつの：直線上の点電荷と電気力線２個の電荷 +mq(m＞2)と-q とがあるとき、+mq から出発した電気力線のうち一部は -q に入りその他は無限遠に行く。-q に入るものと入らないものとの境界の電気力線は、+mq をどのような角度で出発するか？　電荷が 4q と -q のときはその角は60°になることを示せ。 `plot2d([contour,-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2)+4*(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2)],[x,-2,3],[y,-4,4]);` というもの。これも前問で出てきたように、電気力線の点電荷の出発点の位置と、無限遠点で電気力線の陰関数が同値であることを利用することになる。また上のプロットでは、右の点電荷(-q)から離れたところで２つの電気力線が鉢合わせしているように見えるが、著者の図ではそこのところがぎりぎりx軸上で無限遠点に曲がって並行に進み、決して同じ点電荷から出発した異なる電気力線は交わらないということを示している。 -q に入るものと入らないものとの境界の電気力線の条件ってなんだろう？ヒントとしては、電気力線の出発点は+電荷の点になるけど、電気力線は無数にあってそれぞれ全方位のいずれかの角度で出発することになるので、出発時の角度がひとつひとつの電気力線で異なっているということになる。一方で無限遠点も無数にあり、点電荷からみて全方位の方向に無限遠点があることになるけど、-電荷の方向に向かった電気力線は(1)-電荷に到着するもの、(2)-電荷からそれて無限遠点に向かうもの、の２種類に分かれることになる。ぎりぎり-電荷に向かわずに無限遠点方向に逃げていく電気力線の無限遠点はx軸に並行となる（２つの点電荷を結ぶ直線に平行になる）ということが言える。ということで電気力線の陰関数としては電気力線の出発点の角度と電気力線上の無限遠点と+電荷を結ぶ線分と２つの点電荷を結ぶ線分の角度を用いたものである必要がある。上記の陰関数は前々問で出てきた気がする。 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ これだよな。しかしこれだと+mqからみた-q方向の無限遠点は0°方向になるので、sin値は0で矛盾するよな。 cosで書き直してみるテスト、 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&\sum_{i=0}^{n}q_i\,\left(1-\cos^2\frac{\theta_i}{2}\right)=Const.\nonumber<br />\\\sum_{i=0}^{n}q_i\,\cos^2\frac{\theta_i}{2}&=&\sum_{i=0}^{n}q_i-Const=K\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを使ってみよう。 q1=mq, q2=-q として、+mpからθの方向で出発した電気力線が、-q方向に向かうもののぎりぎりで無限遠点に向かう電気力線では+mq, -qどちらか見ても電気力線の無限遠点は0°方向になることから、 $\begin{eqnarray}<br />m\,q\,\cos^2\frac{\theta}{2}-q\,\cos^2\frac{\pi}{2}&=&m\,q\cos^2\frac{\theta}{2}=K\nonumber<br />\\m\,q\,\cos^2\frac{0}{2}-q\,\cos^2\frac{0}{2}&=&m\,q-q=q\left(m-1\right)=K\nonumber<br />\\m\,q\,\cos^2\frac{\theta}{2}&=&q\,\left(m-1\right)\nonumber<br />\\\cos^2\frac{\theta}{2}&=&\frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}\nonumber<br />\\\cos\frac{\theta}{2}&=&\sqrt{1-\frac{1}{m}}\nonumber<br />\\\theta&=&2\,\cos^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{1}{m}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。題意のm=4を代入すると、 $\begin{eqnarray}<br />\theta&=&2\,\cos^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{1}{4}}\right)=2\,\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\nonumber<br />\\&=&60^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解法とは異なるアプローチでもできたじゃないか（´∀｀　）

フラット表示

前のトピック | 次のトピック

題名	投稿者	日時
電気力線とGaussの定理演習問題	webadm	2024-2-14 8:02
無限に広い平面上の電荷分布の電界	webadm	2024-2-14 8:10
二つの並行な無限平面上の電荷が作る電界	webadm	2024-2-15 1:37
二つの並行な無限平面上の電荷が作る電界（一般化）	webadm	2024-2-15 2:51
球内に分布する電荷によって生じる球内外の電界	webadm	2024-2-20 0:36
トムソンの原子モデル	webadm	2024-2-20 5:51
球殻に一様に分布した電荷の作る電界	webadm	2024-2-20 18:06
無限長円柱内に一様に分布した電荷が作る電界	webadm	2024-2-20 18:07
無限長円筒表面に一様に分布した電荷が作る電界	webadm	2024-2-20 20:17
２重同心球殻	webadm	2024-2-20 21:03
続：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 1:47
続々：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 1:54
またまた：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 2:09
まだまだ：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 4:19
n重同心球殻	webadm	2024-2-23 10:25
続：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 20:37
続々：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 21:03
またまた：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 21:38
まだまだ：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 22:19
静電張力	webadm	2024-2-26 23:43
続：静電張力	webadm	2024-2-28 0:51
続々：静電張力	webadm	2024-2-28 19:27
直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-2-29 2:22
続：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-3-3 22:16
続々：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-3 18:59
まだまだ：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-8 3:49
またまた：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-9 17:55
それでも：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-9 21:13
» もうひとつの：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-10 4:51
まだ続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-13 3:10
また続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-13 17:17
もっと続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-13 22:33
更に続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-17 10:28
ずっと続く？：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-17 11:42
無限並行直線と電気力線	webadm	2024-4-19 20:50
続：無限並行直線と電気力線	webadm	2024-4-27 5:06
続々：無限並行直線と電気力線	webadm	2024-4-27 16:45

投稿するにはまず登録を