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webadm	投稿日時: 2024-4-17 11:42
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3089	ずっと続く？：直線上の点電荷と電気力線一直線上の AB=BC なる３点、A, B, C にそれぞれ　3q, -q, -q の電荷がおかれているとき、 (1) A 点で AB となす角が、 $\alpha>\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ であるような電気力線は B, C に到達しないこと、および (2) $\alpha=\cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$ の電気力線は無限遠で AC と直角をなすことを示せ。 `e:3*(1-(x+3)/sqrt((x+3)^2+y^2))/2-(1-(x+1)/sqrt((x+1)^2+y^2))/2-(1-(x-1)/sqrt((x-1)^2+y^2))/2; plot2d([contour,e],[x,-4,4],[y,0.001,4]);` というもの。これまでの問題の題意は電気力線が出る角度を求めるものだったのが、この問題では出る角度の条件が与えられた場合に、電気力線が点電荷に最終的に入るか否かを判別することが題意となっている。前問と同様に、 $\begin{eqnarray}<br />\sum_{i=0}^{n}q_i\,\sin^2\frac{\theta_i}{2}&=&Const.\nonumber<br />\end{eqnarray}$ を用いることにしよう。 A 点からαで出た電気力線が B 点にβの角度で入る場合、 $\begin{eqnarray}<br />3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\,q=K\nonumber<br />\\3\,q\,\sin^{2}\frac{0}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&-q\,\sin^{2}\frac{\beta}{2}-q=K\nonumber<br />\\3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2&=&-\sin^{2}\frac{\beta}{2}-1\nonumber<br />\\\sin^2\frac{\beta}{2}&=&1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\beta}{2}&=&\sqrt{1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\nonumber<br />\\\beta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで(1)の条件、 $\alpha>\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ より、 $\begin{eqnarray}<br />\cos\alpha&=&\left(1-2\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)<-\frac{1}{3}\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&>&\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 一方で、与えられた電気力線が B 点に入るためには、βが実数値である必要から、αは以下の条件を満たす必要がある、 $\begin{eqnarray}<br />1-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\ge&0\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\le&\frac{1}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 題意で与えられたα角では上の条件を満たさないため、与えられた電気力線は B 点に入ることはない。同様に A 点からα角で出た電気力線が C 点にγ角で入る場合。 $\begin{eqnarray}<br />3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\,q=K\nonumber<br />\\3\,q\,\sin^{2}\frac{0}{2}-q\,\sin^{2}\frac{0}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\gamma}{2}&=&-q\,\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=K\nonumber<br />\\3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2&=&-\sin^{2}\frac{\gamma}{2}\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\gamma}{2}&=&2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\gamma}{2}&=&\sqrt{2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\nonumber<br />\\\gamma&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで先のα角、 $\begin{eqnarray}<br />\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&>&\frac{2}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ で出た電気力線が C 点に入るには、γが実数値になる以下の条件を満たす必要がある $\begin{eqnarray}<br />2-3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\ge&0\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&\le&\frac{2}{3}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ 題意で与えられたα角は上の条件を満たさないので、γが虚数になってしまうため、与えられた電気力線は C 点に入らない。 (2)の設問に関して、無限遠点での電気力線の角度をθとした場合、以下の関係が成り立つ、 $\begin{eqnarray}<br />3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\pi}{2}&=&3\,q\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\,q=K\nonumber<br />\\3\,q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}-q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}&=&q\,\sin^{2}\frac{\theta}{2}=K\nonumber<br />\\3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2&=&\sin^{2}\frac{\theta}{2}\nonumber<br />\\\sin\frac{\theta}{2}&=&\sqrt{3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2}\nonumber<br />\\\theta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2}\right)\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ここで(2)のαの条件、 $\alpha=\cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$ すなわち、 $\begin{eqnarray}<br />\cos\alpha&=&-\frac{2}{3}=1-2\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\nonumber<br />\\\sin^{2}\frac{\alpha}{2}&=&\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{6}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ これを先のθの式に代入すると、 $\begin{eqnarray}<br />\theta&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{3\,\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\sqrt{3\,\frac{5}{6}-2}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\nonumber<br />\\&=&2\,\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\nonumber<br />\\&=&90^{\circ}\nonumber<br />\end{eqnarray}$ ということになる。

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題名	投稿者	日時
電気力線とGaussの定理演習問題	webadm	2024-2-14 8:02
無限に広い平面上の電荷分布の電界	webadm	2024-2-14 8:10
二つの並行な無限平面上の電荷が作る電界	webadm	2024-2-15 1:37
二つの並行な無限平面上の電荷が作る電界（一般化）	webadm	2024-2-15 2:51
球内に分布する電荷によって生じる球内外の電界	webadm	2024-2-20 0:36
トムソンの原子モデル	webadm	2024-2-20 5:51
球殻に一様に分布した電荷の作る電界	webadm	2024-2-20 18:06
無限長円柱内に一様に分布した電荷が作る電界	webadm	2024-2-20 18:07
無限長円筒表面に一様に分布した電荷が作る電界	webadm	2024-2-20 20:17
２重同心球殻	webadm	2024-2-20 21:03
続：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 1:47
続々：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 1:54
またまた：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 2:09
まだまだ：２重同心球殻	webadm	2024-2-21 4:19
n重同心球殻	webadm	2024-2-23 10:25
続：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 20:37
続々：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 21:03
またまた：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 21:38
まだまだ：n重同心球殻	webadm	2024-2-26 22:19
静電張力	webadm	2024-2-26 23:43
続：静電張力	webadm	2024-2-28 0:51
続々：静電張力	webadm	2024-2-28 19:27
直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-2-29 2:22
続：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-3-3 22:16
続々：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-3 18:59
まだまだ：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-8 3:49
またまた：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-9 17:55
それでも：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-9 21:13
もうひとつの：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-10 4:51
まだ続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-13 3:10
また続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-13 17:17
もっと続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-13 22:33
更に続く：直線上の点電荷と電気力線	webadm	2024-4-17 10:28
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無限並行直線と電気力線	webadm	2024-4-19 20:50
続：無限並行直線と電気力線	webadm	2024-4-27 5:06
続々：無限並行直線と電気力線	webadm	2024-4-27 16:45

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