ふう、天気が良いね（´∀｀　）
洗濯日和！

それはよいとして、ようやく直線上の点電荷と電気力線に関する問題が尽きたらしいけど、今度は無限並行直線と電気力線の問題軍来たこれ（；´Д｀）

最初の問題は、直線上の点電荷の問題の時と同様に、電気力線の陰関数表記の方程式に関する問題。

単位長さあたり、λ1,λ2,...,λn に帯電した n 本の無限並行直線があるとき、電気力線の方程式は、各線とその上の点とを結ぶ直線が一定方向となす角をθ1,θ2,...,θn とするとき、次式で与えられることを示せ。



というもの。




以前の直線上の点電荷の時は、各点電荷と電気力線上の点を結ぶ直線と点電荷が並ぶ直線との成す角で表したが、今度は単位長さ当たりの電荷量と各無限直線と電気力線上の点を結ぶ直線が一定方向と成す角で表す点が異なる。

一定方向は特に限定されていないので、共通の方向であれば、どの方向であっても良いということだろう。

あるいは、直線上の点電荷を一様に帯電した無限帳直線の断面に置き換えて考えても良いかもしれない。

以前の直線上の点電荷のケースではガウスの法則で電荷の総量が有限であるので電束を計算することができたが、今回は無限並行線に帯電した電荷の総量が無限になってしまうので、無限並行線全体を視野に入れるのは都合が悪い。

単位長さあたりの電荷量が与えられているので、有限区間ではガウスの法則が使えないこともない。無限平行線なのでz軸方向に線が延びているとすると、どのz座標のxy平面でみても電気力線は金太郎飴のように同じ姿になることになる。

前の直線上の点電荷の時には、点電荷だったのでガウスの法則と立体角を使って電気力線の方程式を導くことができたが、今回は点電荷ではなく無限超線電荷なので事情が異なる。

無限超線電荷の場合は電界は線電荷と直行する平面に平行な方向成分のみとなり、それ以外の方向成分は相殺されて存在しないことになる。

上記は証明しなくても自明なので、それによって線電荷を取り囲む幅1の円筒表面で電界もしくは電束を積分すればそれぞれλi/ε0,λiということになる。






この事実を応用して、同じ電気力線上の任意の点P(x,y)を通る単位長さの円筒の断面を通る電束を線電荷と点Pを結ぶ線分とx軸のなす角θiで表せば、線電荷が直線上に複数並んでいる場合、それらの電束の総和は一定であるはずである。

次に、複数の無限超線電荷がx軸上に平行に並んでいる際に任意の電気力線（曲面）を通る電束もしくは電界を求める必要がある。

曲面や曲線だと都合が悪いので、直線上の点電荷の時に用いたように電気力線の任意の点を通るx軸に垂直な直方体の平面で電束や電界を積分してもそれぞれλ、λ/ε0となることを利用する。





ということになる。

従って複数の並列に並んだ無限超線電荷の成す任意の電気力線上の点では以下の関係が成り立つことになる。



ということになる。

著者の解とは異なるアプローチでもできたじゃないか( ´∀｀)

Maximaで電束密度を積分した結果がatanになるのを見るまでは正直道間違えているかもと半信半疑だったことは内緒だ( ´∀｀)

P.S

次の著者の問題を読んだら、この問題からそうだけど、無限線電荷は互いに平行であるという条件だけで、前の直線上の点電荷のように一直線上に並んでるとは書いてない罠（´Д｀；）

まあ、それでも同じ結果なんだけどね。

角無限線電荷のy座標をy1,y2,...,ynとした場合でも成り立つことを確かめるのは読者の課題としよう( ´∀｀)