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webadm
投稿日時: 2024-6-11 23:37
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3103
帯電した楕円板または円板導体による電位
帯電した楕円板または円板導体による電位を求めよ。

というもの。

前問では三次元の楕円体を扱っていて難問だったが、今度は楕円もしくは特殊な楕円(長軸半径と短軸半径が同一)である円版導体による電位を求めるという易しい問題。

前問で最初に試みたように、まともに帯電した楕円の成す電位を求めるには楕円積分が伴うので初等関数で結果を表すことができないという壁が存在する。

なので楕円積分は電位の式にそのまま残すしかない。

あとは境界値条件を設定すれば電位の式が得られるはず。

やってみよう。

既に前問で3次元の楕円体に関して電位の式を導出しているのでz軸の半径cを0とすることで二次元の楕円板もしくは円板の電位を表すことができる。つまり厚みゼロの楕円体は楕円板もしくは円板と等価である。



更に円板の場合には、a=bとなるので、



ということになる。

なんだ簡単じゃないか(´∀` )

ただ元々は等電位面の式から導出しているので、任意の三次元空間の電位ではなく、λの関数になっているのが気にいらないが。

ちゃんと計算するには、三次元座標空間で楕円板もしくは円板の表面に分布した電荷による電位を楕円積分する必要がある。

それは読者の課題としよう(´∀` )
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