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webadm
投稿日時: 2024-6-14 4:13
Webmaster
登録日: 2004-11-7
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投稿: 3105
Earnshawの定理の証明
(1)電荷のない空間ではポテンシャルの極大点、極小点が存在しないことを証明し、(2) それにより Earnshawの定理を証明せよ。

きたな、これがラスボス、本章の最終問題だ。

極大極小点はないにせよ、鞍点のような踊り場的な点は存在するので注意が必要である。永遠に長い階段の途中にある踊り場みたいにその点から離れれば下る一方か上る一方なので極大や極小は存在しない。

(1)に関する証明のストラテジーとしては、

・電荷のない空間中に電位勾配が0の鞍点が現れることはあるが、その鞍点を中心とする微少球を考えて、球面要素dSと電界Eの内積を積分した場合、球内には電荷が存在せず、球外と球内を素通りする電界(電束)は相殺し合うため積分値は0となる




・もし上記の積分値が0でない場合、鞍点を中心とした微少球内に電荷が存在する必要があり、空間中に電荷は存在しないという前提と矛盾する




・従って電荷のない空間には極大極小点は存在しない

ということになる。

(2) Earnshawの定理:任意の電荷のない領域において静電場が存在するとき、その領域に荷電粒子をおいた場合、粒子は安定なつり合い状態を維持できない、の証明ストラテジーとしては、

・静電場に置かれた荷電粒子が安定なつり合いを維持するには、粒子が微少移動した場合に元の場所に引き戻すクーロン力が発生する必要があり、正の荷電粒子の場合には、静電ポテンシャルの極小点に置かれる必要があり、負の荷電粒子の場合には、静電ポテンシャルの極大点に置かれる必要がある
・上記の必要条件は電荷のない領域ではポテンシャルの極大極小点は存在しないことから成立しない

ということになる。

まあ、著者の解答をなぞっただけだけど、これで良しとしよう(´∀` )

さあ、これでやっと次ぎの章に進めるぞ。
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