問題３１は問題３０のおまけみたいなもの。

同じブリッジ回路で剣流計と電池を取り替えて接続した場合に、剣流計に流れる電流の逆数の差を求めるもの。

出題の意図がいまいちわからない。電流の逆数という概念も今まで登場してこなかっただけに何を意味するのか不明。電流値に反比例する尺度ってなんだ、電流の流れ難さ？　抵抗の逆数はコンダクタンスというのは出てきたけど。電流の逆数に電圧をかければ抵抗値になるという関係はある。

抵抗を２つだけ動かして剣流計と電池を入れ替えたのと同じ回路にしなさいという、マッチ棒クイズみたいにも見える。

実際に著者の解答はそうしたものだった。これも２つの回路の間の間違い探しみたいな、パターンの発見というか直感力を試すもので、回路解析とはとどのつまりそういうことだと言いたいのかもしれない。

まじめに解くと、問題３０の回路で剣流計と電池を交換した回路図を描いて、同じように剣流計に流れる電流の式を求めて、２つの回路のそれぞれの剣流計に流れる電流の逆数の差を求めれば良いことになる。

元の回路の剣流計に流れる電流Igは

Ig = (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))

同じ回路で剣流計と電池を取り替えた時に剣流計に流れる電流Ig'は、以下の方程式を解くことによって得られる。

E = I1*R1 + (I1 - Ig')*R3
E = (I - I1)*R2 + (I - I1 + Ig')*R4
E = I1*R1 + Ig'*Rg + (I - I1 + Ig')*R4

これを例によってMaximaを使って解くと

(%i1) e1: E=I1*R1 + (I1 - Ig)*R3;
(%o1) E=(I1-Ig)*R3+I1*R1
(%i2) e2: E=(I - I1)*R2 + (I-I1+Ig)*R4;
(%o2) E=(-I1+I+Ig)*R4+(I-I1)*R2
(%i3) e3: E=I1*R1 + Ig*Rg + (I-I1+Ig)*R4;
(%o3) E=(-I1+I+Ig)*R4+I1*R1+Ig*Rg
(%i4) solve([e1,e2,e3],[I,I1,Ig]);
(%o4) [[I=(E*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)+E*R1*(R4+Rg)+(E*(R2+Rg)+E*R1)*R3)/(R3*(R1*(R4+R2)+(R2+Rg)*R4+Rg*R2)+R1*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)),I1=
(E*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)+E*R2*R3)/(R3*(R1*(R4+R2)+(R2+Rg)*R4+Rg*R2)+R1*((R2+Rg)*R4+Rg*R2)),Ig=
(E*R2*R3-E*R1*R4)/(R3*(R1*(R4+R2)+(R2+Rg)*R4+Rg*R2)+R1*((R2+Rg)*R4+Rg*R2))]]

整理すると

Ig' = (R2*R3 - R1*R4)*E/(R3*R1*R4 + R3*R1*R2 + R3*R4*R2 + R3*R4*Rg R3*R2*Rg + R1*R4*R2 + R1*R4*Rg + R1*R2*Rg)
= (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R3*R4 + R3*R2 + R1*R4 + R1*R2) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))
= (R2*R3 - R1*R4)*E/(Rg*(R1 + R3)*(R2 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))

Rgに関係する項以外は以前と同じ。

従って

1/Ig - 1/Ig' =
(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))/(R2*R3 - R1*R4)*E - (Rg*(R1 + R3)*(R2 + R4) + R1*R2*(R3 + R4) + R3*R4*(R1 + R2))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R1 + R2)*(R3 + R4) - Rg(R1 + R3)*(R2 + R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R1*R3 + R2*R3 + R1*R4 + R2*R4 - R1*R2 - R3*R2 - R1*R4 - R3*R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R1*R3 + R2*R4 - R1*R2 - R3*R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E
=(Rg*(R3 - R2)*(R1 - R4))/(R2*R3 - R1*R4)*E

として同じ結果が得られた。

これと著者の解き方以外にも、問題３０で求めた剣流計に流れる電流の式をRg=0,R2=3*R1,R3=3*R4にして書き換えることによっても同様の結果が得られるはず。

剣流計以外の電流の式は二次式とか出て来て恐ろしいことになっているが因数分解すればもっとシンプルな式になることは想像がつく。