この問題は一見するとＴ型アッテネーター回路を抵抗バイパスを追加したような回路。



著者の模範解答ではこれがブリッジ回路であることに着眼し、かつブリッジの平衡条件を満たすことから抵抗Rbに流れる電流が０であることを利用して抵抗Rbが挿入されていない形に簡略化して解いている。

同じやり方をしても仕方が無いので違うやり方で強引に解いてみた。

いつもの通りに分流法で方程式を立てMaximaで解いてみると。

(%i1) e1: I1*R+Ec=E;
(%o1) I1*R+Ec=E
(%i2) e2: Ia*Ra+(Ia-Ib)*R=E;
(%o2) (Ia-Ib)*R+Ia*Ra=E
(%i3) e3: Ia*Ra+Ib*Rb+Ec=E;
(%o3) Ib*Rb+Ia*Ra+Ec=E
(%i4) e4: I=I1+Ia;
(%o4) I=I1+Ia
(%i5) e5: I=(Ia-Ib)+Ec/Rc;
(%o5) I=Ec/Rc-Ib+Ia
(%i7) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,I1,Ia,Ib,Ec]);
(%o7) [[I=(E*R^2+(Rc+2*Rb+Ra)*E*R+(Ra*(Rc+Rb)+Rb*Rc)*E)/((Rc+Rb+Ra)*R^2+(Ra*(2*Rc+Rb)+Rb*Rc)*R+Ra*Rb*Rc),I1=
((Rb+Ra)*E*R+Ra*(Rc+Rb)*E)/((Rc+Rb+Ra)*R^2+(Ra*(2*Rc+Rb)+Rb*Rc)*R+Ra*Rb*Rc),Ia=(E*R^2+(Rc+Rb)*E*R+Rb*Rc*E)/((Rc+Rb+Ra)*R^2+(Ra*(2*Rc+Rb)+Rb*Rc)*R+Ra*Rb*Rc),Ib=
(E*R^2-Ra*Rc*E)/((Rc+Rb+Ra)*R^2+(Ra*(2*Rc+Rb)+Rb*Rc)*R+Ra*Rb*Rc),Ec=(Rc*E*R^2+(Rb*Rc+Ra*Rc)*E*R+Ra*Rb*Rc*E)/((Rc+Rb+Ra)*R^2+(Ra*(2*Rc+Rb)+Rb*Rc)*R+Ra*Rb*Rc)]]
(%i8) factor(%);
(%o8) [[I=(E*(R^2+Rc*R+2*Rb*R+Ra*R+Rb*Rc+Ra*Rc+Ra*Rb))/(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc),I1=
(E*(Rb*R+Ra*R+Ra*Rc+Ra*Rb))/(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc),Ia=(E*(R+Rb)*(R+Rc))/(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc)
,Ib=(E*(R^2-Ra*Rc))/(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc),Ec=
(Rc*E*(R+Ra)*(R+Rb))/(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc)]]

ここで抵抗Rbに流れる電流Ibの分子がE*(R^2-Ra*Rc)であり、Ra*Rc=R^2の場合Ibは0となることがわかる。

問題はEcの式が複雑で著者の解のように簡単ではないという点。

Ec=(Rc*E*(R+Ra)*(R+Rb))/(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc)

この式ははたして著者の解にある

Ec=(Rc*E)/(R+Rc)

と等価なのだろうか？

そのためには分母の式が(R+Ra)*(R+Rb)で割り切れないといけないことになる。

すなわち

Ec=(Rc*E*(R+Ra)*(R+Rb))/((R+Ra)*(R+Rb)*(R+Rc))

と等価である必要がある。

果たして

(R+Ra)*(R+Rb)*(R+Rc)=(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc)

かどうかというのが問題である。

実際にMaximaに計算させてみた

(%i26) (R+Ra)*(R+Rb)*(R+Rc);
(%o26) (R+Ra)*(R+Rb)*(R+Rc)
(%i27) expand(%);
(%o27) R^3+Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc

なんとなく部分的には一致しているが、R^3なんてのがある。

実はRa*Rc=R^2ということなのでR^3=Ra*Rc*Rに置き換えることができる。

(%i36) subst(Ra*Rc*R, R^3, R^3+Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc);
(%o36) Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc

ということで

(R+Ra)*(R+Rb)*(R+Rc)=(Rc*R^2+Rb*R^2+Ra*R^2+Rb*Rc*R+2*Ra*Rc*R+Ra*Rb*R+Ra*Rb*Rc)

であることが確かめられた

従って

Ec=Rc*E/(R+Rc)

ということになる。