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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2007-9-15 9:10
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2961
問題37:Kelvinのダブルブリッジ
Kelvinのダブルブリッジというのは基本系のブリッジ回路の一端に抵抗のΔ接続を挿入した形になっている。



著者の解ではΔ接続をY接続に置換して基本形のブリッジ回路に簡略化してから式を立てている。

Maximaがあればどんな複雑な回路でもたちどころに解けるので、そのままの回路で方程式をたててみて解いてみることにする。

まずキルヒホッフの法則により以下の5つの式が成り立つ。

(%i1) e1: E=I1*R1+(I1-Ig)*R2;
(%o1) E=(I1-Ig)*R2+I1*R1
(%i2) e2: E=(I-I1)*Rx+(I-I1-I4)*R6+(I-I1+Ig)*R3;
(%o2) E=(-I4-I1+I)*R6+(-I1+I+Ig)*R3+Rx*(I-I1)
(%i3) e3: E=I1*R1+Ig*Rg+(I4+Ig)*R5+(I-I1+Ig)*R3;
(%o3) E=(I4+Ig)*R5+(-I1+I+Ig)*R3+I1*R1+Ig*Rg
(%i4) e4: E=(I-I1)*Rx+I4*R4+(I4+Ig)*R5+(I-I1+Ig)*R3;
(%o4) E=(I4+Ig)*R5+I4*R4+(-I1+I+Ig)*R3+Rx*(I-I1)
(%i5) e5: E=(I-I1)*Rx+I4*R4-Ig*Rg+(I1-Ig)*R2;
(%o5) E=I4*R4+(I1-Ig)*R2+Rx*(I-I1)-Ig*Rg


上記の式からI,I1,I4,Ig,Rxに関する一般解を解くことができるが、問題ではさらにブリッジが平衡状態にある場合に限定しているので、以下の式を加える必要がある。

(%i8) e6: I1*R1=(I-I1)*Rx+I4*R4;
(%o8) I1*R1=I4*R4+Rx*(I-I1)

これらの6つの式からI,I1,I4,Ig,Rxを解くと、

(%i9) solve([e1,e2,e3,e4,e5,e6],[I,I1,I4,Ig,Rx]);
(%o9) [[I=((E*R5+E*R3+E*R2)*R6+(E*R3+E*R2)*R5+(E*R3+E*R2)*R4)/(((R2+R1)*R5+(R2+R1)*R3)*R6+(R2+R1)*R3*R5+(R2+R1)*R3*R4),I1=E/(R2+R1),I4=
(E*R2*R6)/(((R2+R1)*R5+(R2+R1)*R3)*R6+(R2+R1)*R3*R5+(R2+R1)*R3*R4),Ig=0,Rx=((R1*R5-R2*R4+R1*R3)*R6+R1*R3*R5+R1*R3*R4)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)]
]

という具合に瞬時に答えが出る。Ig=0になっているので平衡状態であることは確か。しかしRxの式が以下の著者の解に比べて複雑である。

Rx=R1*R3/R2+(R1/R2-R4/R5)*R5*R6/(R4+R5+R6)

はたして

R1*R3/R2+(R1/R2-R4/R5)*R5*R6/(R4+R5+R6)=((R1*R5-R2*R4+R1*R3)*R6+R1*R3*R5+R1*R3*R4)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)

であるかが問題である。これもMaximaで確認してみよう。

(%i10) R1*R3/R2+(R1/R2-R4/R5)*R5*R6/(R4+R5+R6);
(%o10) ((R1/R2-R4/R5)*R5*R6)/(R6+R5+R4)+(R1*R3)/R2
(%i11) factor(%);
(%o11) (R1*R5*R6-R2*R4*R6+R1*R3*R6+R1*R3*R5+R1*R3*R4)/(R2*(R6+R5+R4))
(%i12) expand(%);
(%o12) (R1*R5*R6)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)-(R2*R4*R6)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)+(R1*R3*R6)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)+(R1*R3*R5)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)+(R1*R3*R4)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)

ということで一見してまったく違うように見える著者の式とMaximaが出した式は同じものだったということが確認できた。

残る問題はR6の値によらずブリッジが平衡であるためのその他の抵抗値の関係を求めるというもの。これは著者と同じようにブリッジが平衡状態の時のRxの関係式でR6の値によらず式が成立するための条件を見いだすことによって行う。元となるRxの式はMaximaが出力した

Rx=((R1*R5-R2*R4+R1*R3)*R6+R1*R3*R5+R1*R3*R4)/(R2*R6+R2*R5+R2*R4)

を使用する。著者と同様にR6の項を整理すると、

(Rx*R2-(R1*R5-R2*R4+R1*R3))*R6=(R5+R4)*R1*R3-(R5+R4)*Rx*R2

この式がR6の値によらず成り立つには

Rx*R2-(R1*R5-R2*R4+R1*R3)=0
かつ
(R5+R4)*R1*R3-(R5+R4)*Rx*R2=0
である必要がある。

最後の式の両辺を(R5+R4)で割ると

R1*R3-Rx*R2=0

すなわち

R1*R3=Rx*R2

∴R1/R2=Rx/R3

上記のRxとR1,R2,R3の関係式でもう片方の条件式を置き換えると

Rx=R1*R3/R2

Rx*R2-(R1*R5-R2*R4+R1*R3)=(R1*R3/R2)*R2-(R1*R5-R2*R4+R1*R3)=R1*R3-R1*R5+R2*R4-R1*R3=-R1*R5+R2*R4=0

すなわち

R2*R4=R1*R5

∴R4/R5=R1/R2

従って

R1/R2=Rx/R3=R4/R5

という著者と同じ結果が得られた。
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                                                                                                       Re: 問題50:偏微分を使った回路解析 webadm 2007-9-27 20:47
                                                                                                       問題51:偏微分を使った回路解析(その2) webadm 2007-9-28 0:45
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                                                                                                                 問題56:ちょっとひねった回路解析(その4) webadm 2007-9-30 13:24
                                                                                                                   問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-3 3:16
                                                                                                                     Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-4 23:30
                                                                                                                       Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-6 18:17
                                                                                                                         Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-6 18:30
                                                                                                                           Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-7 13:30
                                                                                                                             Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-7 20:26
                                                                                                                               問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-8 2:12
                                                                                                                                 Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-8 13:24
                                                                                                                                   Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 1:27
                                                                                                                                     Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 13:18
                                                                                                                                       Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 19:19
                                                                                                                                         問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-9 20:33
                                                                                                                                           Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 18:06
                                                                                                                                             Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 19:12
                                                                                                                                               Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 20:02
                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-16 9:24
                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-17 0:39
                                                                                                                                                   Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-21 15:12
                                                                                                                                                     Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 13:12
                                                                                                                                                       Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 19:13
                                                                                                                                                         Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 19:28
                                                                                                                                                           Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-26 11:24
                                                                                                                                                             Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-26 11:49
                                                                                                                                                               Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-27 2:05
                                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-27 11:53
                                                                                                                                                                   Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-28 16:45
                                                                                                                                                                     Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-29 1:07
                                                                                                                                                                       Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-29 19:48
                                                                                                                                                                         問題60:短くした電熱線の消費電力 webadm 2007-10-30 0:38
                                                                                                                                                                           問題61:細く短くした電熱線の消費電力 webadm 2007-10-30 1:18
                                                                                                                                                                             問題62:2つの異なる電球を直列につなぐ webadm 2007-10-31 1:39
                                                                                                                                                                               問題63:電力伝送と整合 webadm 2007-10-31 2:07
                                                                                                                                                                                 問題64:電力伝送と整合(その2) webadm 2007-11-1 1:26
                                                                                                                                                                                   問題65:電力伝送と整合(その3) webadm 2007-11-1 1:56
                                                                                                                                                                                     問題66:電池の起電力と内部抵抗を求める webadm 2007-11-1 2:25
                                                                                                                                                                                       問題67:配線抵抗のある電力伝送回路 webadm 2007-11-7 0:49
                                                                                                                                                                                         問題68:電力伝送とマッチング(電源側) webadm 2007-11-7 1:17
                                                                                                                                                                                           問題69:カロリーと電力 webadm 2007-11-7 1:49
                                                                                                                                                                                             問題70:電力量と比熱と融点の応用(フューズ) webadm 2007-11-8 1:54
                                                                                                                                                                                               問題71:電力量と比熱と融点の応用(フューズ)の続き webadm 2007-11-8 2:02
                                                                                                                                                                                                 問題72:合成温度係数 webadm 2007-11-8 2:20
                                                                                                                                                                                                   問題73:抵抗値による温度測定 webadm 2007-11-8 2:40
                                                                                                                                                                                                     問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 3:45
                                                                                                                                                                                                       Re: 問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 5:07
                                                                                                                                                                                                         Re: 問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 5:38
                                                                                                                                                                                                           問題75:膨張係数と温度係数 webadm 2007-11-10 2:29
                                                                                                                                                                                                             問題76:導線の温度上昇 webadm 2007-11-11 4:15
                                                                                                                                                                                                               問題77:温度補償抵抗回路 webadm 2007-11-11 14:25
                                                                             Re: 問題37:Kelvinのダブルブリッジ webadm 2007-9-25 22:48
                                                 Re: 問題26:検流計の内部抵抗を求める Anonymous 2007-5-25 17:32
                                                   Re: 問題26:検流計の内部抵抗を求める webadm 2007-5-26 12:00
                                     誤植発見 webadm 2007-3-25 4:07

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