こんどは予め充電済みのコンデンサを並列につないだときに失われる静電エネルギーを求めるというもの。

これはいろいろ解き方があると思われる。いつものようにひねくれた解き方をやってみる。



まだ並列につないでいない状態の２つのコンデンサはそれぞれ蓄えられた電荷が移動せずに均衡を保っている。

並列に接続するということは合成容量Cのコンデンサに蓄えられていた電荷を一気に短絡させて失わせることを意味する。ということで合成容量Cのコンデンサに蓄えれていた静電エネルギーがコンデンサを並列に接続した際に短絡によって失われると考えることが出来る。

図から方程式を立てると

(%i23) e1: C=(1/(1/C1+1/C2));
(%o23) C=1/(1/C2+1/C1)
(%i24) e2: Q=C*(E2-E1);
(%o24) Q=C*(E2-E1)
(%i32) e3: W=Q*(E2-E1)/2;
(%o32) W=((E2-E1)*Q)/2

これらの方程式からC,Q,Wを解くと

(%i33) solve([e1,e2,e3],[C,Q,W]);
(%o33) [[C=(C1*C2)/(C2+C1),Q=(C1*C2*(E2-E1))/(C2+C1),W=(C1*C2*(E2^2-2*E1*E2+E1^2))/(2*C2+2*C1)]]

因数分解すると

(%i34) factor(%);
(%o34) [[C=(C1*C2)/(C2+C1),Q=(C1*C2*(E2-E1))/(C2+C1),W=(C1*C2*(E2-E1)^2)/(2*(C2+C1))]]

E2とE1の差分の式が著者と逆だが２乗するので負号は関係なく結果は一緒になる。

よく考えると問題では接続の向きについては何も書いていない。もし充電された極性が逆向きになるように並列接続したらどうなるのだろうか？

その場合、合成容量に蓄えられた電荷Qは

(%i50) e2: Q=C*(E1+E2);
(%o50) Q=C*(E2+E1)

となり、同様に静電エネルギーも

(%i51) e3: W=Q*(E2+E1)/2;
(%o51) W=((E2+E1)*Q)/2

となる。これでC,Q,Wを解くと

(%i52) solve([e1,e2,e3],[C,Q,W]);
(%o52) [[C=(C1*C2)/(C2+C1),Q=(C1*C2*(E2+E1))/(C2+C1),W=(C1*C2*(E2^2+2*E1*E2+E1^2))/(2*C2+2*C1)]]

因数分解すると

(%i54) factor(%);
(%o54) [[C=(C1*C2)/(C2+C1),Q=(C1*C2*(E2+E1))/(C2+C1),W=(C1*C2*(E2+E1)^2)/(2*(C2+C1))]]

E1の極性が逆になるだけだということがわかる。

実は(E2-E1)^2は(E1-E2)^2と同じである。MaximaはE2^2-2*E1*E2+E1^2というのを因数分解すると(E2-E1)^2のほうを表示する。E2^2-2*E1*E2+E1^2はE1^2-2*E1*E2+E2^2と書いたのと同じなので(E1-E2)^2にも因数分解できるがこちらはMaximaでは出てこない。