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webadm | 投稿日時: 2007-9-28 5:47 |
Webmaster ![]() ![]() 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3108 |
Re: 問題50:偏微分を使った回路解析 とりあえず問題にあるEabの式を求めてみることにする。
(%i16) e1; (%o16) E=r*I+Eab (%i17) e2; (%o17) I1*(R0-x)=x*(I-I1) (%i18) e3; (%o18) Eab=I1*(R0-x) (%i19) e4: E=R*I+r*I; (%o19) E=I*R+r*I これらの式が成り立つのでI,I1,Eab,Rについて解いてみると (%i20) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,Eab,R]); (%o20) [[I=(E*R0)/((x+r)*R0-x^2),I1=(x*E)/((x+r)*R0-x^2),Eab=(x*E*R0-x^2*E)/((x+r)*R0-x^2),R=(x*R0-x^2)/R0]] ということで合成抵抗は著者の解に出てくるのと一緒である。 しかしEabの式は二次関数になっていてちょっと目では最大値条件がわからない。 著者の場合、合成抵抗が最大になればEabも最大になるという点に着眼して簡単に解いている。 同じやり方をやっても仕方が無いので、難易度の高いEabの式に着目してみることにする。 Eabをxの関数としてその導関数を求めれば接線の傾きの式が得られる。その傾きが0となるxを求めれば、曲線の頂点であるので最大値であると言える。 だがこれが難題である。Eabの式を見ると分子と分母の2つの式からなる。こうした式の導関数は以下のように公式で決まっている。 (g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-g(x)f'(x))/f(x)^2 従って g(x)=x*E*R0-x^2*E f(x)=(x+r)*R0-x^2 とすると g'(x)=E*R0-2*x*E f'(x)=R0-2*x これをそれぞれ置き換えると (g(x)/f(x))'=((E*R0-2*x*E)*((x+r)*R0-x^2)-(x*E*R0-x^2*E)*(R0-2*x))/((x+r)*R0-x^2)^2 面倒なのでMaximaで整理させると (%i28) ((E*R0-2*x*E)*((x+r)*R0-x^2)-(x*E*R0-x^2*E)*(R0-2*x))/((x+r)*R0-x^2)^2; (%o28) (((x+r)*R0-x^2)*(E*R0-2*x*E)-(R0-2*x)*(x*E*R0-x^2*E))/((x+r)*R0-x^2)^2 (%i29) factor(%); (%o29) (r*E*R0*(R0-2*x))/(x*R0+r*R0-x^2)^2 ということになり Eab'=(r*E*R0*(R0-2*x))/(x*R0+r*R0-x^2)^2 ここでEab'が0になるには R0-2*x=0 であればいいので すなわち x=R0/2 ということになる。 著者と同じ答えが得られた。 |
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