次ぎも微分を応用して解く問題。



合成抵抗Rabは

(%i1) e1: Rab=1/(1/(R1+x)+1/R4+1/(R2-x+R3));
(%o1) Rab=1/(1/R4+1/(R3+R2-x)+1/(R1+x))
(%i2) ratsimp(%);
(%o2) Rab=(((R1+x)*R3+(R1+x)*R2-x*R1-x^2)*R4)/((R3+R2+R1)*R4+(R1+x)*R3+(R1+x)*R2-x*R1-x^2)

という具合に複雑極まり無い。

これを微分して一次の導関数を求める。前の問題と同様に手計算でもできないことはないが、Maximaには導関数を求める機能があるのでそれを使ってみる。

(%i9) diff(%,x);
(%o9) 0=((R3+R2-x)*R4)/(R3*R4+R2*R4+R1*R4+R1*R3+x*R3+R1*R2+x*R2-x*R1-x^2)-
((R1+x)*R4)/(R3*R4+R2*R4+R1*R4+R1*R3+x*R3+R1*R2+x*R2-x*R1-x^2)-((R1+x)*(R3+R2-x)*(R3+R2-R1-2*x)*R4)/(R3*R4+R2*R4+R1*R4+R1*R3+x*R3+R1*R2+x*R2-x*R1-x^2)^2
(%i10) factor(%);
(%o10) 0=((R3+R2-R1-2*x)*(R3+R2+R1)*R4^2)/(R3*R4+R2*R4+R1*R4+R1*R3+x*R3+R1*R2+x*R2-x*R1-x^2)^2

ということで導関数が0の値を取るには分子の式が0になればよいので、

R3+R2-R1-2*x=0

から

x=(R3+R2-R1)/2

これで先の合成抵抗の式のxを置き換えると、

(%o11) Rab=((-(R3+R2-R1)/2+R3+R2)*((R3+R2-R1)/2+R1)*R4)/(R3*R4+R2*R4+R1*R4-(R3+R2-R1)^2/4+(R3*(R3+R2-R1))/2+(R2*(R3+R2-R1))/2-(R1*(R3+R2-R1))/2+R1*R3+R1*R2)
(%i12) factor(%);
(%o12) Rab=((R3+R2+R1)*R4)/(4*R4+R3+R2+R1)

従って最大の合成抵抗Rmは

Rm=((R3+R2+R1)*R4)/(4*R4+R3+R2+R1)

となり著者の解法と同じ結果が得られた。