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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2007-10-7 13:30
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 2960
Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析
さていよいよ残る命題の

In=I1(2-sqrt(3))^n-1

というのを導くのだが。最初の命題は永遠に続く抵抗ラダーの電流の関係を示していることを思い出そう。

In -4In+1 + In+2 = 0

すなわちあるn段目を流れる電流Inは、それ以降のn+1とn+2段目の電流で表されるというもの。

しかしこれだと、n段目に流れる電流を計算するためにはそれ以降のn+1とn+2段数に流れる電流を知らなければならない。n+1段目を知るためにはn+2とn+3段目の電流を知らないといけないという永遠に続くパラドックスに陥る。

なので次なる命題はn段目の電流が初段の電流I1と段数の関係だけで表すことが出来るというのを導けというもの。

直感的にこの無限に続く抵抗ラダー回路に流れる電流は漸化的に減衰していくのは明らかである。段数を横軸に流れる電流のグラフを描けば階段上に段々と下がっていくのが想像できる。そして最後は無限大の段数では流れる電流は0に限りなく近づく。いわゆる指数関数的なグラフを描くはずである。

こうした性質の関数を扱うのは数学では漸化式というらしいが、手元の数学公式集には載っていない。数学事典とかを見れば載っているのかもしれない。著者が唐突に用いている解法は天才的でよくわからないので、数日間いろいろ考えて自分なりの方法を見つけた。



回路の合成抵抗を求める際に使った方法を応用する。無限に続く抵抗ラダーの片側は合成抵抗R0で表すことができる。どこでちょん切って抵抗値を測定してもそっから先は無限に続いているので同じ値になるはずである。

またその無限に続く抵抗ラダーの手前に似たような抵抗ラダーを1段または2段追加したとしても全体の合成抵抗は無限に続く場合の合成抵抗R0で変わらないはずである。

まず1段目に関して解析してみる。1段目に流れる電流I1と2段目以降の無限ラダーに流れる電流をI2とし、ブリッジ部分に流れる部分をI'1とすると以下の関係が成り立つ。

I'1*R = I2*R0
I1*R0 = I1*R + I'1*R + I1*R

1番目の式から

I'1 = I2*R0/R

これを2番目の式に代入して

I1*R0 = I1*R + (I2*R0/R)*R + R1*R

∴I2=(I1*R0 - 2*I1*R)/R0=I1*(1 - 2*R/R0)

ここでR0は以前に合成抵抗を求めた際に無限に続く抵抗ラダーの片側の合成抵抗

R0=2*sqrt(3)*R/(3-sqrt(3))

を代入すると

I2=I1*(1 - 2*R/(2*sqrt(3)*R/(3-sqrt(3))))
=I1*(1 - (3-sqrt(3))/sqrt(3))
=I1*(1 - (sqrt(3)-1))
=I1*(2 - sqrt(3))

ということになる。

同様に3段目について解析すると

I'2*R = I3*R0
I'1*R = I2*R + I'2*R + I2*R
I'1*R = I2*R0
I2 = I1*(2 - sqrt(3))

1番目の式からI'2は

I'2 = I3*R0/R

これを2番目の式に代入すると

I'1*R = I2*R + (I3*R0/R)*R + I2*R
=2*I2*R + I3*R0

3番目の式でI'1*Rを置き換えると

I2*R0 = 2*I2*R + I3*R0

4番目の式でI2を置き換えると

I1*(2-sqrt(3))*R0 = 2*I1*(2-sqrt(3))*R + I3*R0

∴I3 = (I1*(2-sqrt(3))*R0 - 2*I1*(2-sqrt(3))*R)/R0
=(I1*(2-sqrt(3))-2*I1*(2-sqrt(3))*R/R0)
=I1*(2-sqrt(3))*(1 - 2*R/R0)

ここでR0は同様に

R0=2*sqrt(3)*R/(3-sqrt(3))

なので置き換えると

I3 = I1*(2-sqrt(3))*(1 - 2*R/(2*sqrt(3)*R/(3-sqrt(3))))
=I1*(2-sqrt(3))*(1 - (3-sqrt(3))/sqrt(3))
=I1*(2-sqrt(3))*((sqrt(3) - (3-sqrt(3))/sqrt(3))
=I1*(2-sqrt(3))*((2*sqrt(3) - 3)/sqrt(3))
=I1*(2-sqrt(3))*(2 - sqrt(3))
=I1*(2-sqrt(3))^2

ということになる。

このことからn段目に流れる電流Inは

In=I1*(2-sqrt(3))^n-1

であることがわかる。

いいのかこれで。

ちなみにMaximaで上の式を計算すると

I3=((7*sqrt(3)-12)*I1)/sqrt(3)

などという訳のわからない式になるが

(2-sqrt(3))^2を計算すると

7-4*sqrt(3)

であることから

7-4*sqrt(3)=((7*sqrt(3)-12)/sqrt(3)

であることから

(2-sqrt(3))^2 = ((7*sqrt(3)-12)/sqrt(3)

であるので同じ式であることがわかる。

Maximaはこれを因数分解できないらしい。
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題名 投稿者 日時
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                                                                                                       Re: 問題50:偏微分を使った回路解析 webadm 2007-9-27 20:47
                                                                                                       問題51:偏微分を使った回路解析(その2) webadm 2007-9-28 0:45
                                                                                                         問題52:偏微分を使った回路解析(その3) webadm 2007-9-28 2:56
                                                                                                           問題53:ちょっとひねった回路解析 webadm 2007-9-28 21:01
                                                                                                             問題54:ちょっとひねった回路解析(その2) webadm 2007-9-29 10:30
                                                                                                               問題55:ちょっとひねった回路解析(その3) webadm 2007-9-29 17:12
                                                                                                                 問題56:ちょっとひねった回路解析(その4) webadm 2007-9-30 13:24
                                                                                                                   問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-3 3:16
                                                                                                                     Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-4 23:30
                                                                                                                       Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-6 18:17
                                                                                                                         Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-6 18:30
                                                                                                                         » Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-7 13:30
                                                                                                                             Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-7 20:26
                                                                                                                               問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-8 2:12
                                                                                                                                 Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-8 13:24
                                                                                                                                   Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 1:27
                                                                                                                                     Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 13:18
                                                                                                                                       Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 19:19
                                                                                                                                         問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-9 20:33
                                                                                                                                           Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 18:06
                                                                                                                                             Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 19:12
                                                                                                                                               Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 20:02
                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-16 9:24
                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-17 0:39
                                                                                                                                                   Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-21 15:12
                                                                                                                                                     Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 13:12
                                                                                                                                                       Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 19:13
                                                                                                                                                         Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 19:28
                                                                                                                                                           Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-26 11:24
                                                                                                                                                             Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-26 11:49
                                                                                                                                                               Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-27 2:05
                                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-27 11:53
                                                                                                                                                                   Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-28 16:45
                                                                                                                                                                     Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-29 1:07
                                                                                                                                                                       Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-29 19:48
                                                                                                                                                                         問題60:短くした電熱線の消費電力 webadm 2007-10-30 0:38
                                                                                                                                                                           問題61:細く短くした電熱線の消費電力 webadm 2007-10-30 1:18
                                                                                                                                                                             問題62:2つの異なる電球を直列につなぐ webadm 2007-10-31 1:39
                                                                                                                                                                               問題63:電力伝送と整合 webadm 2007-10-31 2:07
                                                                                                                                                                                 問題64:電力伝送と整合(その2) webadm 2007-11-1 1:26
                                                                                                                                                                                   問題65:電力伝送と整合(その3) webadm 2007-11-1 1:56
                                                                                                                                                                                     問題66:電池の起電力と内部抵抗を求める webadm 2007-11-1 2:25
                                                                                                                                                                                       問題67:配線抵抗のある電力伝送回路 webadm 2007-11-7 0:49
                                                                                                                                                                                         問題68:電力伝送とマッチング(電源側) webadm 2007-11-7 1:17
                                                                                                                                                                                           問題69:カロリーと電力 webadm 2007-11-7 1:49
                                                                                                                                                                                             問題70:電力量と比熱と融点の応用(フューズ) webadm 2007-11-8 1:54
                                                                                                                                                                                               問題71:電力量と比熱と融点の応用(フューズ)の続き webadm 2007-11-8 2:02
                                                                                                                                                                                                 問題72:合成温度係数 webadm 2007-11-8 2:20
                                                                                                                                                                                                   問題73:抵抗値による温度測定 webadm 2007-11-8 2:40
                                                                                                                                                                                                     問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 3:45
                                                                                                                                                                                                       Re: 問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 5:07
                                                                                                                                                                                                         Re: 問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 5:38
                                                                                                                                                                                                           問題75:膨張係数と温度係数 webadm 2007-11-10 2:29
                                                                                                                                                                                                             問題76:導線の温度上昇 webadm 2007-11-11 4:15
                                                                                                                                                                                                               問題77:温度補償抵抗回路 webadm 2007-11-11 14:25
                                                                             Re: 問題37:Kelvinのダブルブリッジ webadm 2007-9-25 22:48
                                                 Re: 問題26:検流計の内部抵抗を求める Anonymous 2007-5-25 17:32
                                                   Re: 問題26:検流計の内部抵抗を求める webadm 2007-5-26 12:00
                                     誤植発見 webadm 2007-3-25 4:07

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