少し著者の解法の一端が理解できた。というより式の流れの意味が解っただけだが。

抵抗ラダーの繰り返し部分の漸化式を、sinh(a)=sqrt(R1/4*R2)と置いて解くと

I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a)

というのになるのはまだ理解できないが、次ぎのステップで回路の両端の境界条件

(r+R1+R2)*I[0]-R2*I[1]=E
(R1+R2)*I[n]=R2*I[n-1]

を先の一般解から求めたI[0],I[1],I[n],I[n-1]を代入すると

C*(r+R1+R2-R2*cosh(2*a))-D*R2*sinh(2*a)=E
C*((R1+R2)*cosh(2*n*a)-R2*cosh(2*(n-1)*a))+D*((R1+R2)*sinh(2*n*a)-R2*sinh(2*(n-1)*a))=0

というのは理解できた。

この２つの式はC,Dに関する連立一次方程式と見なすことができるので、C,Dを解くことができる。Maximaでそれをやると、

(%i1) e1: C*(r+R1+R2-R2*cosh(2*a))-D*R2*sinh(2*a)=E;
(%o1) C*(-cosh(2*a)*R2+R2+R1+r)-sinh(2*a)*D*R2=E
(%i2) e2: C*((R1+R2)*cosh(2*n*a)-R2*cosh(2*(n-1)*a))+D*((R1+R2)*sinh(2*n*a)-R2*sinh(2*(n
-1)*a))=0;
(%o2) D*(sinh(2*a*n)*(R2+R1)-sinh(2*a*(n-1))*R2)+C*(cosh(2*a*n)*(R2+R1)-cosh(2*a*(n-1))*R2)=0

(%i3) solve([e1,e2],[C,D]);

(%o3) [[C=((sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*E*R2+sinh(2*a*n)*E*R1)/((sinh(2*a*n)+cosh(2*a)*
(sinh(2*a*(n-1))-sinh(2*a*n))+sinh(2*a)*(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))-sinh(2*a*(n-1)))*R2^2+(
(-cosh(2*a)*sinh(2*a*n)+2*sinh(2*a*n)+sinh(2*a)*cosh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*R1+
(sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*r)*R2+sinh(2*a*n)*R1^2+sinh(2*a*n)*r*R1),D=-(
(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))*E*R2+cosh(2*a*n)*E*R1)/((sinh(2*a*n)+cosh(2*a)*
(sinh(2*a*(n-1))-sinh(2*a*n))+sinh(2*a)*(cosh(2*a*n)-cosh(2*a*(n-1)))-sinh(2*a*(n-1)))*R2^2+(
(-cosh(2*a)*sinh(2*a*n)+2*sinh(2*a*n)+sinh(2*a)*cosh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*R1+
(sinh(2*a*n)-sinh(2*a*(n-1)))*r)*R2+sinh(2*a*n)*R1^2+sinh(2*a*n)*r*R1)]]

ということでC,Dが解けるというのは理解できる。Maximaの解は複雑なので整理して著者の解と同じになるかどうか別途確認が必要である。

電車に乗りながらいろいろ考えたら、他にもまったく違うアプローチで解けそうな予感もしてきた。それはまた別の機会に。

いずれにせよこうした問題を直流回路の段階でやるというのは躓きの元かもしれない。漸化式の境界値問題とかを扱っている参考書はほとんど皆無だし、数学的にも昔から応用数学ということで扱われ工学系とかの学生が少しかじる程度の末端の分野である。

国会図書館とかの蔵書を探せばなにか見つかるかもしれないが、そんな時間と出かける余裕は無い。

数値シミュレーションとかを扱う人には避けて通れない数学的、工学的な問題でもあるので、今もこれと決まった解き方があるわけでもなさそうである。微分方程式においてもすべての微分方程式に適用できる解法が無いのと似ている。

境界値問題も境界（インタフェース）部分の式を立てることが出来れば解けるので、式が立てられるような応用であればそれなりに解くことが出来ると思われる。

式が立てられないような複雑で膨大なネットリストとかについては数式処理システムで解くのは限界がある。それ専用の行列演算を高速で行うようなシステムが必要である。