とりあえずMaximaを使って以前に立てた漸化式と境界問題を解いてみる。

ラダー部分の漸化式

I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2=(I[k-1]-I[k])*R2

をMaximaで解くと

(%i1) load("solve_rec")$
(%i2) solve_rec(I[k]*R1+(I[k]-I[k+1])*R2=(I[k-1]-I[k])*R2,I[k]);
(%o2) I[k]=(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k)/2^k+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^k)/2^k

という一般解が得られる。

これを線路の始点と終点それぞれの境界条件の式

(%i3) e1: E=(r+R1)*I[0]+(I[0]-I[1])*R2;
(%o3) E=(I[0]-I[1])*R2+I[0]*(R1+r)

(%i7) e2: (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1;
(%o7) (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1

に適用して

(%i4) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^0)/2^0+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)
-2*R2-R1)/R2)^0)/2^0, I[0], E=(I[0]-I[1])*R2+I[0]*(R1+r));
(%o4) E=(%k[2]-I[1]+%k[1])*R2+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)

(%i5) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^1)/2^1+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)
-2*R2-R1)/R2)^1)/2^1, I[1], E=(%k[2]-I[1]+%k[1])*R2+(%k[2]+%k[1])*(R1+r));
(%o5) E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)

(%i6) e1: E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r);
(%o6) E=R2*(-(%k[2]*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)-(%k[1]*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1))/(2*R2)+%k[2]+%k[1])+(%k[2]+%k[1])*(R1+r)

(%i8) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))/2^(n-1)+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^(n-1))/2^(n-1), I[n-1], (I[n-1]-I[n])*R2=I[n]*R1);
(%o8) R2*(%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-I[n])=I[n]*R1

(%i9) subst((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*(-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)-2*R2-R1)/R2)^n)/2^n, I[n], R2*(%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-I[n])=I[n]*R1);

(%o9) R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n
+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n)

(%i10) e2: R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n);
(%o10) R2*(-(%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+%k[2]*2^(1-n)*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1)-(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n
+%k[1]*2^(1-n)*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(n-1))=R1*((%k[2]*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n+(%k[1]*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/2^n)

２つの任意定数(%k[1],%k[2])に関する連立方程式を導くと

(%i11) solve([e1,e2],[%k[1],%k[2]]);
(%o11) [[%k[1]=(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n),%k[2]=-(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*(-3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)/(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)]]

一般解の式に上の%k[2]と%k[1]を代入すると

I[k]=(((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(-R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+
E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+r*E*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1*(R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+3*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-
2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*
((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))+(((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^k*(-sqrt(4*R1*R2+R1^2)*(E*(R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)-r*E*(-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-E*R1*(-3*R2*
((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+E*R1^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))/(2^k*(R1*(r*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+12*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))-2*R2^2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*r^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n-2*R2^2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+r^2*(2*R2*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n)+4*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+2*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^(2*n))+R1^2*(8*R2*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n+4*r*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n)+2*R1^3*((-sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n*((sqrt(4*R1*R2+R1^2)+2*R2+R1)/R2)^n))

という見たくもないぐらい複雑な式となる。これが著者が導いた解と等価なのかどうか。問題の趣旨は双曲線関数で表す式になることを証明せよということなので、単純に二階の漸化式の境界値問題を解くというだけでは不十分である。数値計算するには解くだけで良いのだが。

もともとべき乗の式が双曲線関数の式になるところが理解できない。双曲線関数は自然対数のべき乗の和と等価なのはわかるが、最初にどうやったら結びつくのかが謎。元々二階の漸化式の解が双曲線関数で表されるというのを前提にしているような気もする。数学の参考書でそこの部分を詳しく解説しているのが見あたらない。説明するのがよほど面倒なのかもしれない。

後日そこを解明してみよう。