著者の解答で説明が省略されている最初の部分がわかった。

I[k+1]+I[k-1]=2*cosh(2*a)*I[k]

でI[k]=x^kとおいて解くと

(x^2-2*cosh(2*a)*x+1)*x^k-1=0

x^k-1≠0であるので

x^2-2*cosh(2*a)*x+1=0

を解くと

x=cosh(2*a)-sqrt(cosh(2*a)^2-1),x=sqrt(cosh(2*a)^2-1)+cosh(2*a)

cosh(2*a)^2は公式より

cosh(2*a)^2=1+sinh(2*a)^2

で置き換えると

x=cosh(2*a)-sinh(2*a)=((exp(2*a)+exp(2*a))/2-(exp(2*a)-exp(2*a))/2)=exp(-2*a),x=sinh(2*a)+cosh(2*a)=((exp(2*a)-exp(2*a))/2+(exp(2*a)+exp(2*a))/2)=exp(2*a)

従って一般解は

I[k]=K1*exp(-2*a)^k+K2*exp(2*a)^k
=K1*exp(-2*k*a)+K2*exp(2*k*a)

再び双曲線関数に関するオイラーの公式

exp(±x)=cosh(x)±sinh(x)

により

I[k]=K1*(cosh(2*k*a)-sinh(2*k*a))+K2*(sinh(2*k*a)+cosh(2*k*a))
=(K1+K2)*cosh(2*k*a)+(K2-K1)*sinh(2*k*a)

ここで

K1+K2=C
K2-K1=D

と置き換えると

I[k]=C*cosh(2*k*a)+D*sinh(2*k*a)

という具合に著者の一般解を導くことができることが判明した。

意外にも泥臭かった。Maximaではさすがにこういう気の利いたことはやってくれない。

双曲線関数と指数関数の間のオイラーの公式は双曲線関数の指数関数表現から自明だが、これがキーになっている。