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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2007-10-29 1:07
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3007
Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流
R-2Rラダー回路について簡単そうだったので自分で解いてみた。



漸化式はk段目の閉回路に関してキルヒホッフの法則から以下の通り

(I[k-1]-I[k])*2*R=I[k]*R+(I[k]-I[k+1])*2*R

これを整理するとRは無関係になり

I[k+1]-(5/2)*I[k]+I[k-1]=0

特性方程式は

x^2-(5/2)*x+1=0

これを満たす根は

x=2, x=1/2

なので漸化式の一般解は

I[k]=K1*2^k+K2/2^k

となる。Maximaのsolve_recで解くと

(%i3) solve_rec(2*(I[k-1]-I[k])*R=2*(I[k]-I[k+1])*R+I[k]*R,I[k]);
(%o3) I[k]=%k[1]*2^k+%k[2]/2^k

と同じ結果が得られる。

回路の終端の境界条件から

(I[n-1]-I[n])*2*R=I[n]*2*R

回路の電源側の境界条件から

E=(r+R)*I[0]+(I[0]-I[1])*2*R;

これらにI[0],I[1],I[n-1],I[n]をそれぞれ一般解の式を適用して代入すると

2*(-K2/2^n+2^(1-n)*K2-2^n*K1+2^(n-1)*K1)*R=2*(K2/2^n+2^n*K1)*R

E=(K2+K1)*(R+r)+2*(K2/2-K1)*R

この2つからK1,K2を解くと

K1=0,K2=E/(2*R+r)

従って解は

I[k]=E/(2^k*(2*R+r))

となりラダーの段数に無関係に段数が多くなるにつれ流れる電流は2のべき乗に反比例する。ちなみに回路で内部抵抗r=0とした場合のI[0]を計算すると

I[0]==E/2*R

となり回路図から求めたものと合っている。

更に各段の抵抗2Rの両端の電圧V[k]は

(%i2) V[k]=(I[k]-I[k+1])*2*R;
(%o2) V[k]=2*(I[k]-I[k+1])*R

で表される。I[k],I[k+1]をそれぞれ代入すると

V[k]=(E*R)/(2^k*(2*R+r))

となり、電流と同じように2のべき乗に反比例する。r=0とした場合の初段の2Rの両端の電圧は

V[0]=(E*R)/(2^0*(2*R+0))=E/2

ということで電源電圧Eの半分となる。

R-2Rラダー回路を使って簡単なD-A変換回路を構成することが可能である。R-2Rで検索すると沢山でてくる。市販のD-A変換ICも古くからあるものはR-2Rラダー回路である。電流値を加算すれば応答性の良い低ノイズなD-Aコンバーターが出来る。実際に古い低周波シンセサイザーやファンクションジェネレーターではそうしたものが使われていた。

昔まだ現在のようなサウンドカードとかが無かった頃にPCのプリンタポートにR-2Rラダー回路で構成したD-A変換回路を介してオーディオアンプをつないで音楽を鳴らしていたいかれた人たちが居た。
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題名 投稿者 日時
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                                                                                             問題46:充電済みコンデンサの並列接続(その2) webadm 2007-9-23 23:27
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                                                                                                 問題48:変わり種ブリッジ回路 webadm 2007-9-24 1:18
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                                                                                                       Re: 問題50:偏微分を使った回路解析 webadm 2007-9-27 20:47
                                                                                                       問題51:偏微分を使った回路解析(その2) webadm 2007-9-28 0:45
                                                                                                         問題52:偏微分を使った回路解析(その3) webadm 2007-9-28 2:56
                                                                                                           問題53:ちょっとひねった回路解析 webadm 2007-9-28 21:01
                                                                                                             問題54:ちょっとひねった回路解析(その2) webadm 2007-9-29 10:30
                                                                                                               問題55:ちょっとひねった回路解析(その3) webadm 2007-9-29 17:12
                                                                                                                 問題56:ちょっとひねった回路解析(その4) webadm 2007-9-30 13:24
                                                                                                                   問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-3 3:16
                                                                                                                     Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-4 23:30
                                                                                                                       Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-6 18:17
                                                                                                                         Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-6 18:30
                                                                                                                           Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-7 13:30
                                                                                                                             Re: 問題57:無限に続く抵抗ラダー回路の解析 webadm 2007-10-7 20:26
                                                                                                                               問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-8 2:12
                                                                                                                                 Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-8 13:24
                                                                                                                                   Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 1:27
                                                                                                                                     Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 13:18
                                                                                                                                       Re: 問題58:n箇所つながった銅線回路 webadm 2007-10-9 19:19
                                                                                                                                         問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-9 20:33
                                                                                                                                           Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 18:06
                                                                                                                                             Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 19:12
                                                                                                                                               Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-10 20:02
                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-16 9:24
                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-17 0:39
                                                                                                                                                   Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-21 15:12
                                                                                                                                                     Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 13:12
                                                                                                                                                       Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 19:13
                                                                                                                                                         Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-25 19:28
                                                                                                                                                           Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-26 11:24
                                                                                                                                                             Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-26 11:49
                                                                                                                                                               Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-27 2:05
                                                                                                                                                                 Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-27 11:53
                                                                                                                                                                   Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-28 16:45
                                                                                                                                                                   » Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-29 1:07
                                                                                                                                                                       Re: 問題59:漏洩抵抗のある架線を流れる電流 webadm 2007-10-29 19:48
                                                                                                                                                                         問題60:短くした電熱線の消費電力 webadm 2007-10-30 0:38
                                                                                                                                                                           問題61:細く短くした電熱線の消費電力 webadm 2007-10-30 1:18
                                                                                                                                                                             問題62:2つの異なる電球を直列につなぐ webadm 2007-10-31 1:39
                                                                                                                                                                               問題63:電力伝送と整合 webadm 2007-10-31 2:07
                                                                                                                                                                                 問題64:電力伝送と整合(その2) webadm 2007-11-1 1:26
                                                                                                                                                                                   問題65:電力伝送と整合(その3) webadm 2007-11-1 1:56
                                                                                                                                                                                     問題66:電池の起電力と内部抵抗を求める webadm 2007-11-1 2:25
                                                                                                                                                                                       問題67:配線抵抗のある電力伝送回路 webadm 2007-11-7 0:49
                                                                                                                                                                                         問題68:電力伝送とマッチング(電源側) webadm 2007-11-7 1:17
                                                                                                                                                                                           問題69:カロリーと電力 webadm 2007-11-7 1:49
                                                                                                                                                                                             問題70:電力量と比熱と融点の応用(フューズ) webadm 2007-11-8 1:54
                                                                                                                                                                                               問題71:電力量と比熱と融点の応用(フューズ)の続き webadm 2007-11-8 2:02
                                                                                                                                                                                                 問題72:合成温度係数 webadm 2007-11-8 2:20
                                                                                                                                                                                                   問題73:抵抗値による温度測定 webadm 2007-11-8 2:40
                                                                                                                                                                                                     問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 3:45
                                                                                                                                                                                                       Re: 問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 5:07
                                                                                                                                                                                                         Re: 問題74:温度係数 webadm 2007-11-8 5:38
                                                                                                                                                                                                           問題75:膨張係数と温度係数 webadm 2007-11-10 2:29
                                                                                                                                                                                                             問題76:導線の温度上昇 webadm 2007-11-11 4:15
                                                                                                                                                                                                               問題77:温度補償抵抗回路 webadm 2007-11-11 14:25
                                                                             Re: 問題37:Kelvinのダブルブリッジ webadm 2007-9-25 22:48
                                                 Re: 問題26:検流計の内部抵抗を求める Anonymous 2007-5-25 17:32
                                                   Re: 問題26:検流計の内部抵抗を求める webadm 2007-5-26 12:00
                                     誤植発見 webadm 2007-3-25 4:07

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