今度は異なる電圧と内部抵抗をもつ２つの電源のある回路での整合の問題。



負荷抵抗で消費する電力を最大にする負荷抵抗値を求めそのときの電力を導くもの。

基本的に負荷抵抗に流れる電流(I)を導いて、最終的な消費電力(P)が最大となるRLを求めた後、その時の消費電力をそのRLを代入して求めれば良い。

負荷抵抗に流れる電流(I)を求めるいくつか解法があると思われる。ひとつは著者の様に網目電流法を使って負荷抵抗に流れる電流の式を導くもの。もうひとつは枝電流法によるもの。更に後に出てくる重ね合わせやテブナンの定理を用いて単一の等価電圧源を求めるという方法。

ここでは著者と異なる枝電流法によって求めてみる。

図より未知数のI,I1に関する以下の方程式を立てることができる

(%i4) e1: RL*I+(I-I1)*R2=E2;
(%o4) I*RL+(I-I1)*R2=E2

(%i5) e2: RL*I+R1*I1=E1;
(%o5) I*RL+I1*R1=E1

これをI,I1について解くと

(%i6) solve([e1,e2],[I,I1]);
(%o6) [[I=(E1*R2+E2*R1)/((R2+R1)*RL+R1*R2),I1=-((E2-E1)*RL-E1*R2)/((R2+R1)*RL+R1*R2)]]

ということでIが求まる。このIを以下の負荷抵抗の消費電力の式に代入すると

P=I^2*RL=((E1*R2+E2*R1)/(R2*RL+R1*RL+R1*R2))^2*RL

これをRLに関して微分すると

(%i11) diff(((E1*R2+E2*R1)/(R2*RL+R1*RL+R1*R2))^2*RL,RL);
(%o11) (E1*R2+E2*R1)^2/(R2*RL+R1*RL+R1*R2)^2-(2*(R2+R1)*(E1*R2+E2*R1)^2*RL)/(R2*RL+R1*RL+R1*R2)^3

(%i12) factor(%);

(%o12) -((E1*R2+E2*R1)^2*(R2*RL+R1*RL-R1*R2))/(R2*RL+R1*RL+R1*R2)^3

ということで微分係数の分子が0となるRLが電力Pが最大値を取る点であるので

R2*RL+R1*RL-R1*R2=0

となるRLを求めると

(%i13) solve(R2*RL+R1*RL-R1*R2=0,RL);
(%o13) [RL=(R1*R2)/(R2+R1)]

となる

これをPの式に代入すれば最大の電力が求まる

(%i14) Pm=((E1*R2+E2*R1)/(R2*RL+R1*RL+R1*R2))^2*RL;
(%o14) Pm=((E1*R2+E2*R1)^2*RL)/(R2*RL+R1*RL+R1*R2)^2

(%i15) subst((R1*R2)/(R2+R1), RL, Pm=((E1*R2+E2*R1)^2*RL)/(R2*RL+R1*RL+R1*R2)^2);
(%o15) Pm=(R1*R2*(E1*R2+E2*R1)^2)/((R2+R1)*((R1*R2^2)/(R2+R1)+(R1^2*R2)/(R2+R1)+R1*R2)^2)

(%i16) factor(%);

(%o16) Pm=(E1*R2+E2*R1)^2/(4*R1*R2*(R2+R1))

ということで著者と同じ結果が得られる。