次ぎの問題は以前にあった電力伝送とマッチングの問題の電源側バージョン。内部抵抗rで起電力Eの電池をm個直列接続したものをn並列してマッチングを最大にする条件(m,n)を求めるもの。




回路から負荷に流れる電流は

I=(m*E)/(m*r/n+RL)

N=m*n

なのでnを置き換えると

I=(m*E)/(m^2*r/N+RL)

分母と分子をmで割って

I=E/(m*r/N+RL/m)

負荷電力が最大になるためには電流が最大になる必要があり、上の式の分母が最小になるmを求めれば良い。

上の式の分母をmで微分すると

(%i3) diff(m*r/N+RL/m,m);
(%o3) r/N-RL/m^2

従って微分係数が0となる点が電流を最大値にするので

r/N-RL/m^2=0

となるmを求めると

(%i4) solve(r/N-RL/m^2=0,m);
(%o4) [m=-sqrt((N*RL)/r),m=sqrt((N*RL)/r)]

従って

m=sqrt((N*RL)/r)

なので

n=N/m=N/sqrt((N*RL)/r)

一見すると著者の解と違うが

(%i12) radcan(%);
(%o12) (sqrt(r)*sqrt(N))/sqrt(RL)

こうすると同じ形になる。

m,nを電流の式に代入して負荷電力を求めると

P=I^2*RL=(E*sqrt((N*RL)/r))/((sqrt(r)*sqrt(RL)*sqrt((N*RL)/r))/sqrt(N)+RL)^2*RL
=((E*sqrt(N))/(2*sqrt(r)*sqrt(RL)))^2*RL

(%i25) ((E*sqrt(N))/(2*sqrt(r)*sqrt(RL)))^2*RL;
(%o25) (E^2*N)/(4*r)

となり著者と同じ結果が得られる。