今度は抵抗率の温度係数(α)と抵抗の温度係数(α1)を厳密に区別して考える問題。温度膨張係数(β)によって導線が膨張することを考慮した場合の抵抗の温度係数がα-βで近似出来ることを導くもの



著者はいきなり式を近似して導いているが、それとは違った方法で導いてみる。

導線が温度t0での抵抗率をρとした場合の抵抗値(R)は

R=ρL/πr^2

で表すことができる。

また温度tでの抵抗値は抵抗率の温度係数(α)と温度膨張率(β）を使って

Rt=ρ(1+α(t-t0))L(1+β(t-t0))/(π(r(1+β(t-t0)))^2

と表すことができる。

ここで抵抗の温度係数(α1)を使って温度tでの導線の抵抗値を表すと

Rt=R(1+α1(t-t0))

と定義することができる。

従って

R(1+α1(t-t0))=ρ(1+α(t-t0))L(1+β(t-t0))/(π(r(1+β(t-t0)))^2

であるので整理すると

R(1+α1(t-t0))=(ρL/πr^2)(1+α(t-t0))/(1+β(t-t0))

ここで

R=ρL/πr^2

なので

R(1+α1(t-t0))=R(1+α(t-t0))/(1+β(t-t0))

この式からα1をMaximaを使って解くと

(%i3) solve(R*(1+a1*(t-t0))=R*((a*(t-t0)+1))/((b*(t-t0)+1)),a1);
(%o3) [a1=(b-a)/(b*t0-b*t-1)]

分子と分母にそれぞれ-1をかけて整理すると抵抗の温度係数は

α1=(α-β)/(1+β(t-t0))

ということになる。

β(t-t0)は1に比べ無視できる程小さい場合

α1≒α-β

となるので抵抗値は

Rt=R(1+(α-β)(t-t0))

で近似できることになる。

ところで著者の解法で

R(1+α(t2-t1))/(1+β(t2-t1))

がいきなり

R(1+α(t2-t1))(1-β(t2-t1))

に近似できるというのが未だ理解できない。

おそらくbが1に比べ十分小さい場合

1/(1+b)≒1-b

ということで

1/(1+β(t2-t1))≒(1-β(t2-t1))

ということなのだろうけど。これは数学のどこで習うのだろうか？

もしかして

1/(1+b)=((1+b)-b)/(1+b)=1-b/(1+b)

なのでbが1に比べて十分小さい場合は

1/(1+b)≒1-b

ということだろうか。