連立方程式を解くだけなのだが小学生で習う分数計算で計算ミスが多発し何度やり直しても同じ答えが出ないという地獄。

結局計算用紙何枚かに渡って手書きでところ狭しと余白を余すところなく式を書いていってようやく著者の解答と同じ結果が得られた。

後で考えると答えを求めるにはもう少し楽が出来たらしい。

求めるべき合成抵抗の電圧降下は以下の通り

E = (i1+i2+2i3+I-i1)R

これを見るとi1は相殺されるので

E = (i2+2i3+I)R

となる。全体を流れる電流はIなので合成抵抗は電圧降下を電流で割れば出てくる

R0 = E/I = ((i2+2i3+I)/I)R

すなわち

R0 = (i2/I+2i3/I+1)R

となるのであとはi2とi3とIだけの関係を連立方程式から求めればよい。i1は求めなくてもよかった。

連立方程式は少なくとも３つ立てる必要がある。i1,i2,i3のそれぞれのIとの関係を導くため、格子状回路の各節点では異なる経路からの電圧降下がそれぞれ等しい（接続されているので電位差は生じないはず）ということを利用する。

異なる経路の電流が合流する節点は４つほど考えられる。最後の１つは先に出た合成抵抗の端であるので除くとして残った３つの節点で合流する２つの経路のそれぞれの電圧降下が等しいとする式をたてる。

(i1+(i1-i2))R=((I-i1)+(I-i1-i3))R
(i1+i2+(i2-i3))R=((I-i1)+(I-i1-i3)+(I-2i2))R
(I1+i2+2i3)R=((I-i1)+(I-i1-i3)+(I-2i2)+(I-i1-i3))R

それぞれ整理すると

4i1-i2+i3=2I
3i1+4i2=4I
4i1+3i2+4i3=4I

２番目の式から i1=I-(4/3)i2
これで１番目の式のi1を置き換えると

4(I-(4/3)i2)-i2+i3=2I
4I-(16/3)i2-i2+i3=2I
4I-(19/3)i2+i3=2I
-(19/3)i2=-(2I+i3)
i2=(6/19)I+(3/19)i3

なのでi1は、

i1=I-(4/3)((6/19)I+(3/19)i3)
=I-((8/19)I+(4/19)i3)
=(11/19)I-(4/19)i3

上記のi1とi2を使って３番目の式を書き換えると

4((11/19)I-(4/19)i3)+3((6/19)I+(3/19)i3)+4i3=4I

４で両辺を割って

(11/19)I-(4/19)i3+(3/4)((6/19)I+(3/19)i3)+i3=I
(11/19)I-(4/19)i3+(18/76)I+(9/76)i3+i3=I
(44/76)I-(16/76)i3+(18/76)I+(9/76)i3+(76/76)i3=I
(62/76)I-(69/76)i3=I
(69/76)i3=I-(62/76)I
(69/76)i3=(76/76)I-(62/76)I
(69/76)i3=(14/76)I
i3=(76/69)(14/76)I
i3=(14/69)I

これでi2=(6/19)I+(3/19)i3のi3を置き換えると

i2=(6/19)I+(3/19)(14/69)I
i2=(69x6/19x69)I+(3x14/19x69)I
i2=(414/19x69)I+(42/19x69)I
i2=(456/19x69)I
i2=(24/69)I

先の合成抵抗の式のi2,i3をIとの関係式で置き換えると

R0 = (i2/I+2i3/I+1)R
R0 = ((24/69)+2(14/69)+1)R
R0 = ((24/69)+(28/69)+(69/69))R
R0 = (121/69)R

ということになる。

自分の分数計算能力やかけ算の九九の記憶が怪しいのを実感。

しかしこうやってみると格子状ワイヤー回路では抵抗値が一定の分数比になるという不思議がある。

格子状ワイヤーモデルはマイクロウェーブとかで格子状抵抗アッテネーターというのがあるらしい。その布石だろうか。