今度は三次元ワイヤーフレームの合成抵抗を求める問題。

三次元になってようとネットリストとしては扱い方は同じ。

ただ図を書くとなると平面ではなんとも表現のしようが無い。

正三角錐状のワイヤーフレームの隣合う頂点間の合成抵抗を求めるのと、一辺の中点と最も遠い頂点間、それと互いに最も遠い一辺の中点間の合成抵抗を求めるというもの。

隣り合う頂点に関しては直感的に残る２つの頂点はそれぞれ回路の中点であるので電位差は無くその間をワイヤーが結んでいたとしても電流は流れないことから抵抗の並列接続として解くことができる。

Rab=1/(1/R+1/2R+1/2R)=1/(4/2R)=1/(2/R)=(1/2)R

また網目電流法によって

全体を流れる電流Iは

I=2i1+i2

異なる経路でも電圧降下が同じなので。

i2R=2i1R

これより

i2=2i1

これを先のIの式のi2を置き換えて

I=2i1+2i1=4i1

従って

i1=(1/4)I

同様にi2は

I=2(1/4)I+i2
I=(1/2)I+i2

従って

i2=(1/2)I

いずれかの経路の電圧降下をIで割れば合成抵抗が得られるので

Rab=i2R/I=(1/2)IR/I=(1/2)R

または

Rab=2i1R/I=2(1/4)IR/I=(1/2)R

いずれも同じ結果が得られる。

次に頂点と最も遠い辺の中点の間の合成抵抗を求める。一辺の中点の左右は回路が対称なので流れる電流は等しいことから

I=2i1

異なる経路での電圧降下は最終的に同じになるので

((1/2)i1+(i1-i2))R=((1/2)i1+i2+2i2)R
i1-i2=3i2

従って

i1=4i2

先のIの関係式から

i1=(1/2)I

従って

(1/2)I=4i2

i2=(1/8)I

いずれかの経路の電圧降下を全体を流れる電流Iで割れば合成抵抗が得られるので

Raf=((1/2)i1+(i1-i2))R/I=((1/2)(1/2)I+((1/2)I-(1/8)I))R/I
=((1/2)(1/2)+((1/2)-(1/8)))R
=((1/4)+(1/2)-(1/8))R
=(5/8)R

もう片方の経路でも求めることが出来る

Raf=((1/2)i1+i2+2i2)R/I=((1/2)(1/2)I+(1/8)I+2(1/8)I)R/I
=((1/4)+(1/8)+(1/4))R
=(5/8)R

最後に一辺の中点と最も遠いもう一辺の中点の間の合成抵抗を求める。

これも同じようにそれぞれの中点から見て左右に分かれる回路は対称なので分岐する電流も対称性があり等しくなる。

I=2i1

とした場合、異なる２つの経路の電圧降下がそれぞれ等しいことから

((1/2)i1+(i1-i2)+(1/2)i1)R=((1/2)i1+i2+(1/2)i1)R

両辺にある２つの(1/2)i1は相殺されて

(i1-i2)R=i2R

i1=2i2

従って

i1=(1/2)I
i2=(1/4)I

となる。

最終的にいずれかの経路の電圧降下を全体に流れる電流Iで割れば合成抵抗が求められる

Rfe=((1/2)i1+i2+(1/2)i1)R/I=((1/2)(1/2)I+(1/4)I+(1/2)(1/2)I)R/I
=((1/4)+(1/4)+(1/4))R
=(3/4)R

できた