続きを解いてみたら出来た。分流法で全体を流れる電流と負荷抵抗に流れる電流の比がn:1ということを利用する。分流法で考えやすくするために回路を以下の様にとらえる。



ここで枝電流i1は分流の定理によって

i1 = I・R2/(R1 + R2・RL/(R2 + RL) + R2)

また枝電流i2は分流の定理と全体を流れる電流Iの1/nであることから

i2 = I/n = i1・R2/(R2 + RL)
= (I・R2/(R1 + R2・RL/(R2 + RL) + R2))・R2/(R2 + RL)
= (I・R2・(R2 + RL)/(R1・(R2 + RL) + R2・RL + R2・(R2 + RL)))・R2/(R2 + RL)
= I・R2・R2/((R1 + R2)・(R2 + RL) + R2・RL)

両辺をIで割って分母をそれぞれかけると

(R1 + R2)・(R2 + RL) + R2・RL = n・R2・R2

左辺を展開すると

R1・R2 + R1・RL + R2・R2 + R2・RL + R2・RL = n・R2・R2

R1項以外を右辺へ移動すると

R1・(R2 + RL) = n・R2・R2 - R2・R2 - 2・R2・RL

∴R1 = ((n - 1)・R2・R2 - 2・R2・RL)/(R2 + RL)

以前に合成抵抗の式から求めたR1とR2,RLの関係式から

R1 =
2・R2・RL・RL/(R2・R2 - RL・RL) = ((n - 1)・R2・R2 - 2・R2・RL)/(R2 + RL)

が成り立つ

分母をそれぞれかけると

2・R2・RL・RL・(R2 + RL) = ((n - 1)・R2・R2 - 2・R2・RL)・(R2・R2 - RL・RL)

更に両辺を展開すると

2・R2・RL・RL・R2 + 2・R2・RL・RL・RL = (n - 1)・R2・R2・R2・R2 - 2・R2・RL・R2・R2 - (n - 1)・R2・R2・RL・RL + 2・R2・RL・RL・RL

共通項を相殺すると

R2・RL・RL・R2 = (n - 1)・R2・R2・R2・R2 - 2・R2・RL・R2・R2 - n・R2・R2・RL・RL

両辺をR2・R2で割ると

RL・RL = (n - 1)・R2・R2 - 2・R2・RL - n・RL・RL

右辺を展開すると

RL・RL = n・R2・R2 - R2・R2 - 2・R2・RL - n・RL・RL

n項以外を左辺に移動すると

R2・R2 + 2・R2・RL + RL・RL = n・(R2・R2 - RL・RL)

両辺を因数分解すると

(R2 + RL)・(R2 + RL) = n・(R2 + RL)・(R2 - RL)

(R2 + RL)で両辺を割ると

(R2 + RL) = n・(R2 - RL)

R2項を分離すると

RL + n・RL = n・R2 - R2

両辺を整理すると

RL・(n + 1) = R2・(n - 1)

∴R2 = RL・(n + 1)/(n - 1)

これで最初のR1とR2, RLの関係式を書き換えると

R1 = 2・R2・RL・RL/(R2・R2 - RL・RL)
= 2・((RL・(n + 1)/(n - 1))・RL・RL)/((RL・(n + 1)/(n - 1))・(RL・(n + 1)/(n - 1)) - RL・RL)
= 2・(((n + 1)/(n - 1))・RL・RL・RL)/RL・RL・((n + 1)・(n + 1)/(n - 1)・(n - 1) - 1)
= 2・(((n + 1)/(n - 1))・RL)・(n - 1)・(n - 1)/((n + 1)・(n + 1) - (n - 1)・(n - 1))
= 2・(n + 1)・(n - 1)・RL/(n・n + 2・n + 1 - n・n + 2・n - 1)
= 2・(n・n - 1)・RL/4・n
= (n・n - 1)・RL/2・n

できた。

実は因数分解のところでずっと躓いていて、こっそり数学公式集を見てやっと解決の糸口がつかめたというのが真相。

しかしたった抵抗４つの回路なのに４次式まで展開されてもうだめかと思った。