問題２７はアナログテスターでなじみ深い抵抗計が題材。

今時のテスターは皆デジタル式で抵抗値が数値で出てくるがどうやって測定しているかについて知ろうとしても原理を知るには難しすぎる作りになってしまっている。

アナログテスターの場合には扱った人は誰も知っているように抵抗測定にはまずテスター棒をショートして針が100%振れている状態を０Ωとして調整するためのつまみが付いている。それから実際の測定する抵抗をテスター棒の間に入れて抵抗値が大きい程針の振れが少なくなるような目盛りが振ってあるのを読むという仕組みである。

問題２７はそれと似た感じではあるが、以下の回路のように既知の抵抗を挿入した時に分流抵抗をR1とした時の検流計の読みをx1とし、未知の抵抗を挿入した際に分流抵抗をR2とした時の検流計の読みをx2とした場合の未知の抵抗値を求めるというもの。



アナログテスターの場合には一度既知の抵抗値(０Ω）でメーターパネルの目盛り上の既知の抵抗値(０Ω）まで針が振れるように分流抵抗を調整してそのままの状態で未知の抵抗を挿入して振れた針の位置の目盛りから抵抗値を読み取るということになるのでR1とR2は同じになるのだが、問題では異なる設定条件となっている。それでもR1とR2は既知の値であるという前提なので求めることができる。

未知数はRxと２つの回路の検流計に流れる電流I1及びI2である。そのため少なくとも３つの方程式を立てるひつようがある。２つはI1とI2の与えられた回路定数との関係式。もうひとつは検流計の指針の振れx1,x2と検流計に流れる電流I1,I2が比例関係にあるという原理を利用する。

I1,I2はそれぞれ分流の法則により、

I1 = (R1/(R1 + Rg))・(E/(R0 + 1/(1/R1 + 1/Rg))
= (R1/(R1 + Rg))・(E/(R0 + R1・Rg/(R1 + Rg)))
= (R1/(R1 + Rg))・(E・(R1 + Rg)/(R0・(R1 + Rg) + R1・Rg))
= R1・E/(R0・(R1 + Rg) + R1・Rg)

I2 = (R2/(R2 + Rg))・(E/(Rx + 1/(1/R2 + 1/Rg))
= (R2/(R2 + Rg))・(E/(Rx + R2・Rg/(R2 + Rg)))
= (R2/(R2 + Rg))・(E・(R2 + Rg)/(Rx・(R2 + Rg) + R2・Rg))
= R2・E/(Rx・(R2 + Rg) + R2・Rg)

検流計の振れx1,x2の比は検流計の電流I1,I2の比と等しいことから

x1/x2 = I1/I2

I1,I2を先の２つの式で置き換えると

x1/x2 = (R1・E/(R0・(R1 + Rg) + R1・Rg))/(R2・E/(Rx・(R2 + Rg) + R2・Rg))

分母をそれぞれかけると

x1・(R2・E/(Rx・(R2 + Rg) + R2・Rg) = x2・(R1・E/(R0・(R1 + Rg) + R1・Rg))

両辺を展開すると

x1・R2・E/(Rx・R2 + Rx・Rg + R2・Rg) = x2・R1・E/(R0・R1 + R0・Rg + R1・Rg)

両辺の分母を互いにかけると

x1・R2・E・(R0・R1 + R0・Rg + R1・Rg) = x2・R1・E・(Rx・R2 + Rx・Rg + R2・Rg)

Rxを含む項を展開分離すると

x1・R2・E・(R0・R1 + R0・Rg + R1・Rg) - x2・R1・E・R2・Rg = x2・R1・E・(Rx・R2 + Rx・Rg) = x2・R1・E・Rx・(R2 + Rg)

∴Rx = (x1・R2・E・(R0・R1 + R0・Rg + R1・Rg) - x2・R1・E・R2・Rg)/x2・R1・E・(R2 + Rg)
= (x1/x2)・(R2/R1)・(R0・R1 + R0・Rg + R1・Rg)/(R2 + Rg) - R2・Rg/(R2 + Rg)
= (R2/(R2 + Rg))・((x1/x2)・(R0 + (R0/R1)・Rg + Rg) - Rg)

となり著者の解と同じ結果が得られる