正弦波の合成に関する公式を導いてみよう

同一周波数で異なる振幅と位相を持つ正弦波交流電圧e1,e2を加算した場合

e1=Em1*sin(ωt+θ1)

e2=Em2*sin(ωt+θ2)

e=e1+e2=Em1*sin(ωt+θ1)+Em2*sin(ωt+θ2)

三角関数の公式

sin(A+B)=sin(A)*cos(B)+cos(A)*sin(B)

より

e=e1+e2=Em1*sin(ωt+θ1)+Em2*sin(ωt+θ2)
=Em1*(sin(ωt)*cos(θ1)+cos(ωt)*sin(θ1))+Em2*(sin(ωt)*cos(θ2)+cos(ωt)*sin(θ2))
=Em1*sin(ωt)*cos(θ1)+Em1*cos(ωt)*sin(θ1)+Em2*sin(ωt)*cos(θ2)+Em2*cos(ωt)*sin(θ2)
=(Em1*cos(θ1)+Em2*cos(θ2))*sin(ωt)+(Em1*sin(θ1)+Em2*sin(θ2))*cos(ωt)

ここまではすぐできるがこっからが難問である。

よく見ると三角形の第一余弦法則に似ている部分がある。

図にしてみると



長さEm1とEm2を辺の長さとする平行四辺形の対角線をEmとした場合に、図より

Em*cos(θ)=Em1*cos(θ1)+Em2*cos(θ2)
Em*sin(θ)=Em1*sin(θ1)+Em2*cos(θ2)

であることから。

従って

e=Em1*(sin(ωt)*cos(θ1)+cos(ωt)*sin(θ1))+Em2*(sin(ωt)*cos(θ2)+cos(ωt)*sin(θ2))
=Em1*sin(ωt)*cos(θ1)+Em1*cos(ωt)*sin(θ1)+Em2*sin(ωt)*cos(θ2)+Em2*cos(ωt)*sin(θ2)
=(Em1*cos(θ1)+Em2*cos(θ2))*sin(ωt)+(Em1*sin(θ1)+Em2*sin(θ2))*cos(ωt)
=Em*cos(θ)*sin(ωt)+Em*sin(θ)*cos(ωt)
=Em*sin(ωt+θ)

これで同一周波数の正弦波交流を加えた結果も同じ周波数の正弦波交流になるのは明らかである。

θは図より

tan(θ)=(Em1*cos(θ1)+Em2*cos(θ2))/(Em1*sin(θ1)+Em2*sin(θ2))

なので

θ=tan^1((Em1*cos(θ1)+Em2*cos(θ2))/(Em1*sin(θ1)+Em2*sin(θ2)))

Em1とEm2を辺とする平行四辺形の対角線の長さEmは対角線で分割した三角形に関する第二余弦法則より

Em^2=Em1^2+Em2^2-2*Em1*Em2*cos(π-(θ2-θ1))
=Em1^2+Em2^2-2*Em1*Em2*cos(π+(θ1+θ2))
=Em1^2+Em2^2+2*Em1*Em2*cos(θ1+θ2)

∴Em=sqrt(Em1^2+Em2^2+2*Em1*Em2*cos(θ1+θ2))

また

φ=θ-θ1

とした場合

e=Em*sin(ωt+θ)=Em*sin(ωt+θ1+φ)

とも表すことができ、その場合図より

tan(φ)=Em2*sin(θ2-θ1)/(Em1+Em2*cos(θ2-θ1))

であることから

φ=tan^1(Em2*sin(θ2-θ1)/(Em1+Em2*cos(θ2-θ1)))

となる。

幾何学的に解いてしまったがよかろう。

この図はそれぞれの振幅を長さとして角速度ωで回転するベクトルの合成そのものである。合成された正弦波交流のベクトルは長さEmの平行四辺形の対角線となる。

このことからわかるように三角関数の式では一見してわからないところもベクトルで見ると一目瞭然である。