今までは同一周波数の正弦波の合成を扱ってきたが、今度は周波数が異なる正弦波を合成した場合、その実効値が

|E|=sqrt(|E1|^2+|E1|^2)

となることを示せというもの。

最初周波数が異なっていても正弦波同士を合成したら正弦波が出てくるものとばっかり思って解いてみたら見事にはまった。

実は周波数の異なる正弦波を合成した場合には正弦波にはならないのである。

実効値は簡単に求めることができる。

e1=sqrt(2)*|E1|*sin(ω1*t+θ1)
e2=sqrt(2)*|E2|*sin(ω1*t+θ2)

とした場合、その合成した瞬時値は

e=e1+e2
=sqrt(2)*|E1|*sin(ω1*t+θ1)+sqrt(2)*|E2|*sin(ω2*t+θ2)
=sqrt(2)*(|E1|*sin(ω1*t+θ1)+|E2|*sin(ω2*t+θ2))

ここで

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)
sin(θ)=|E1|/|E|
cos(θ)=|E2|/|E|
tan(θ)=|E1|/|E2|

と置くと

e=sqrt(2)*|E|*((|E1|/|E|)*sin(ω1*t+θ1)+(|E2|/|E|)*sin(ω2*t+θ2))
=sqrt(2)*|E|*(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2))

θ=arctan(|E1|/|E2|)

となり合成された実効値は

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)

で表されることが導かれる。

謎なのが三角関数の項

(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2))

これはどう煮ても焼いても単一の正弦波の式にはならない。

著者の解法は律儀に瞬時値の二乗平均を求めている。

確認のために自分で導いた瞬時値の式を二乗平均して確かめてみよう。

e^2=(sqrt(2)*|E|*(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2)))^2
=2*|E|^2*(sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)+cos(θ)*sin(ω2*t+θ2))^2
=2*|E|^2*(cos(θ)^2*sin(ω2*t+θ2)^2+2*cos(θ)*sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)*sin(ω2*t+θ2)+sin(θ)^2*sin(ω1*t+θ1)^2)

三角関数の公式

cos2A=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1=1-2sinA^2

より

cosA^2=(1+cos2A)/2
sinA^2=(1-cos2A)/2

を適用して書き換えると

e^2=2*|E|^2*(((1+cos(2θ)/2)*((1-cos(2*(ω2*t+θ2)))/2)+2*cos(θ)*sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)*sin(ω2*t+θ2)+((1-cos(2θ))/2)*((1-cos(2*(ω1*t+θ1)))/2))
=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-cos(2θ)*cos(2*(ω2*t+θ2)))/4+2*cos(θ)*sin(θ)*sin(ω1*t+θ1)*sin(ω2*t+θ2)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+cos(2θ)*cos(2*(ω1*t+θ1)))/4)

三角関数の公式

2cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B)
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)
sin2A=2sinAcosA
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

により

e^2=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-(cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2)))/2)/4+2*((sin(2θ)/2)*((cos((ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))-cos((ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/2)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+(cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1)))/2)/4)

=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-(cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2)))/2)/4+2*((sin(2θ)*cos((ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))-sin(2θ)*cos((ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/4)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+(cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1)))/2)/4)

=2*|E|^2*((1-cos(2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ)-(cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2)))/2)/4+2*(((sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/2-(sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2)))/2)/4)+(1-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)+(cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1)))/2)/4)

=|E|^2*(1/2-cos(2*(ω2*t+θ2))/2+cos(2θ)/2-cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))/4+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2))/4+2*sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+2*sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))-sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))/4+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))/4+1/2-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)/2+cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))/4+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1))/4)

=|E|^2*(1-cos(2*(ω2*t+θ2))/2+cos(2θ)/2-cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))/4+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2))/4+2*sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+2*sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))-sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))/4+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))/4-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)/2+cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))/4+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1))/4)

=|E|^2-|E|^2*(cos(2*(ω2*t+θ2))/2+cos(2θ)/2-cos(2θ-2*(ω2*t+θ2))/4+cos(2θ+2*(ω2*t+θ2))/4+2*sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))+2*sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))-sin(2θ+(ω1*t+θ1)-(ω2*t+θ2))/4+sin(2θ-(ω1*t+θ1)+(ω2*t+θ2))/4-cos(2*(ω1*t+θ1))-cos(2θ)/2+cos(2θ-2*(ω1*t+θ1))/4+cos(2θ+2*(ω1*t+θ1))/4)

ということになり、上記を積分すると最初の|E|^2の項を除いては他はsinとcosとの積であるため定積分すると0となり消えることは明らか。

従ってこの解き方でも

|E|=sqrt(|E1|^2+|E2|^2)

で正しいことになる。

いずれにしても周波数が違う正弦波の合成もベクトルの加算として扱うことができるという点が興味深い。角速度が違うベクトルを加算するということはどういうことなのか想像が付かないが。一方の回転するベクトルの先端を中心点にもう一方のベクトルがぐるぐる回転するのを想像すれば良いのかもしれない。