次ぎの問題はRL直列回路に、２つの異なる実効値電圧と周波数の電圧を加えた場合の電流をそれぞれ測定して、その結果から回路の抵抗値とインダクタンスを求めよというもの。

回路に未知数が二つあるので２つの回路方程式をたてて、連立方程式を解けば良い。

|I1|=|E1|/|Z|=|E1|/sqrt(R^2+(2πF1*L)^2)
|I2|=|E2|/|Z|=|E2|/sqrt(R^2+(2πF2*L)^2)

がしかしMaximaではこれはさすがに解けないらしい。

なので手でやるしかない。

２つの式をそれぞれ両辺を二乗すると

|I1|^2=|E1|^2/(R^2+(2πF1*L)^2)
|I2|^2=|E2|^2/(R^2+(2πF2*L)^2)

最初の式をRの式に直すと

R=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(2πF1*L)^2)
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(2π)^2*F1^2*L^2)

これを２番目の式に代入すると

|I2|^2=|E2|^2/(|E1|^2/|I1|^2-(2π)^2*F1^2*L^2+(2π)^2*F2^2*L^2)
=|E2|^2/(|E1|^2/|I1|^2+(2π)^2*(F2^2-F1^2)*L^2)

これをLに関する式に直すと

L=sqrt((|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/((2π)^2*(F2^2-F1^2)))
=(1/2π)*sqrt((|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/(F2^2-F1^2))


従って

R=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(2π)^2*F1^2*((1/2π)*sqrt((|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/(F2^2-F1^2)))^2)
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-F1^2*(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/(F2^2-F1^2))
=sqrt((|E1|^2/|I1|^2)*(1+F1^2/(F2^2-F1^2)-F1^2*(|E2|^2/|I2|^2)/(F2^2-F1^2))
=sqrt(F2^2*|E1|^2/|I1|^2)/(F2^2-F1^2)-F1^2*(|E2|^2/|I2|^2)/(F2^2-F1^2))
=sqrt((F2^2*|E1|^2/|I1|^2-F1^2*|E2|^2/|I2|^2)/(F2^2-F1^2))

ということになる。


著者の解と比べるとE1とE2、I1とI2それにF1とF2がそれぞれ逆になっている以外は同じである。

Maximaでも以下の方程式で与えると解けるには解けるが

(%i99) e2: (I2)^2=(E2/sqrt(R^2+(2*%pi*f2*L)^2))^2;
(%o99) I2^2=E2^2/(R^2+4*%pi^2*f2^2*L^2)

(%i100) e1: I1^2=E1^2/(R^2+(2*%pi*f1*L)^2);
(%o100) I1^2=E1^2/(R^2+4*%pi^2*f1^2*L^2)

(%i101) solve([e1,e2],[R,L]);

(%o101) [[R=-sqrt((f2^2*E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2)-(f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=-sqrt((E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2)-(E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)],[R=-sqrt((f2^2*E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2)-(f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=
sqrt((E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2)-(E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)],[R=sqrt((f2^2*E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2)-(f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=-sqrt((E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2)-(E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)],[R=sqrt((f2^2*E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2)-(f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),
L=sqrt((E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2)-(E1^2*I2^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)]]

(%i102) factor(%);
(%o102) [[R=-sqrt((f2^2*E1^2*I2^2-f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=-sqrt(-(E1^2*I2^2-E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)],[R=-sqrt((f2^2*E1^2*I2^2-f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=
sqrt(-(E1^2*I2^2-E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)],[R=sqrt((f2^2*E1^2*I2^2-f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=-sqrt(-(E1^2*I2^2-E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)],[R=sqrt((f2^2*E1^2*I2^2-f1^2*E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(I1*I2),L=
sqrt(-(E1^2*I2^2-E2^2*I1^2)/(f2^2-f1^2))/(2*%pi*I1*I2)]]

なんか余計な因数分解をしていたり、四次方程式の根になっていたりする。これはちょっとだめだろう。