問題４７と同様に今度はRC直列回路の抵抗値とキャパシタンスを求めるもの。

電圧実効値|E1|,周波数F1の電源に接続した際の電流実効値|I1|と電圧実効値|E2|,周波数F2の電源に接続した際の電流実効値|I2|からRC直列回路の抵抗値とキャパシタンスを計算する。

以下の方程式がたてられる

|I1|=|E1|/|Z|=|E1|/sqrt(R^2+XC^2)=|E1|/sqrt(R^2+(1/ω1C)^2)
=|E1|/sqrt(R^2+(1/(2πF1*C))^2)

|I2|=|E2|/|Z|=|E2|/sqrt(R^2+XC^2)=|E2|/sqrt(R^2+(1/ω2C)^2)
=|E2|/sqrt(R^2+(1/(2πF2*C))^2)

最初の式を両辺二乗して

|I1|^2=|E1|^2/(R^2+(1/(2πF1*C))^2)

Rを左辺にもっていくと

R^2=|E1|^2/|I1|^2-(1/(2πF1*C))^2

∴R=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(1/(2πF1*C))^2)

これをもう一つの式に代入すると

|I2|=|E2|/sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(1/(2πF1*C))^2+(1/(2πF2*C))^2)

両辺を二乗すると

|I2|^2=|E2|^2/(|E1|^2/|I1|^2-(1/(2πF1*C))^2+(1/(2πF2*C))^2)

Cの項を左辺に移動すると

(1/(2πF2*C))^2-(1/(2πF1*C))^2=|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2

左辺を因数分解すると

(1/(2π))^2*(1/C)^2*(1/F2^2-1/F1^2)=|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2

左辺をCだけにすると

(1/C)^2=(2π)^2*(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/(1/F2^2-1/F1^2)

∴C=(1/2π)*sqrt((1/F2^2-1/F1^2)/(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2))
=(1/2π)*sqrt(((F1^2-F2^2)/(F1^2*F2^2))/((|E2|^2*|I1|^2-|E1|^2*|I2|^2)/(|I1|^2*|I2|^2)))
=(|I1|*|I2|/(2π*F1*F2))*sqrt((F1^2-F2^2)/(|E2|^2*|I1|^2-|E1|^2*|I2|^2))

これを最初のRの式に代入すると

R=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(1/(2πF1*(|I1|*|I2|/(2πF1*F2))*sqrt((F1^2-F2^2)/(|E2|^2*|I1|^2-|E1|^2*|I2|^2)))^2)
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-1/((|I1|^2*|I2|^2/F2^2)*((F1^2-F2^2)/(|E2|^2*|I1|^2-|E1|^2*|I2|^2))))
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-1/((F1^2/F2^2-1)/(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)))
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/(F1^2/F2^2-1))
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/((F1^2-F2^2)/F2^2))
=sqrt(|E1|^2/|I1|^2-F2^2*(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2)/(F1^2-F2^2))
=sqrt(((F1^2-F2^2)*(|E1|^2/|I1|^2)-F2^2*(|E2|^2/|I2|^2-|E1|^2/|I1|^2))/(F1^2-F2^2))
=sqrt((F1^2*(|E1|^2/|I1|^2)-F2^2*(|E2|^2/|I2|^2))/(F1^2-F2^2))

従って

C=(|I1|*|I2|/(2π*F1*F2))*sqrt((F1^2-F2^2)/(|E2|^2*|I1|^2-|E1|^2*|I2|^2))

R=sqrt((F1^2*(|E1|^2/|I1|^2)-F2^2*(|E2|^2/|I2|^2))/(F1^2-F2^2))

ということになる。