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webadm | 投稿日時: 2007-12-9 5:35 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3090 |
問題55:RL直列回路とRC直列回路の並列接続 あと残り3問。次ぎの問題はかなりひねった難問。
RL直列回路とRC直列回路を並列に接続した回路でそれぞれの直列回路に同じ電流が流れている場合に、その位相差がπ/2になるR,L,Cの条件は何かというもの。 なんですと? 並列に接続されているので電圧は同位相。電流はRL直列回路ではφ1だけ遅れ、RC直列回路ではφ2だけ進む。その差はφ1+φ2ということになる。 φ1=atan(ωL/R) φ2=atan((1/ωC)/R)=atan(R/ωC) 従って φ1+φ2=atan(ωL/R)+atan(R/ωC)=π/2 という関係が成り立つ場合にR,L,Cの関係は? この式の意味はどうイメージすればいいのだろう? つまりφ1+φ2=π/2ということでRL直列回路とRC直列回路のインピーダンスを2辺としLとCのリアクタンスの和を底辺とする高さRの直角三角形の関係を意味する。 すると以下の式が成り立つ ωL+(1/ωC)=sqrt(sqrt(R^2+(ωL)^2)^2+sqrt(R^2+(1/ωC)^2)^2) =sqrt(R^2+(ωL)^2+R^2+(1/ωC)^2) =sqrt(2*R^2+(ωL)^2+(1/ωC)^2) 両辺を二乗すると (ωL+(1/ωC))^2=(ωL)^2+2*(ωL)*(1/ωC)+(1/ωC)^2 =2*R^2+(ωL)^2+(1/ωC)^2 両辺で同じ項を相殺すると (ωL)*(1/ωC)=R^2 という式が得られる。 従って R=sqrt(ωL/ωC)=sqrt(L/C) という関係であればφ1+φ2がπ/2になる。 またそれぞれの直列回路を流れる電流が等しいことからインピーダンスも等しいと言えるので sqrt(R^2+(ωL)^2)=sqrt(R^2+(1/ωC)^2) 両辺を二乗すると R^2+(ωL)^2=R^2+(1/ωC)^2 両辺の共通項を相殺すると ωL=1/ωC という関係が得られる。従って R=sqrt(L/C)=1/ωC=ωL という関係が得られる。つまり抵抗値、容量性リアクタンス、誘導性リアクタンスがそれぞれ等しい関係と言える。 先ほどの図形でイメージすれば直角二等辺三角形の定規を2つもってきて、短い辺をぴったり合わせて上限対称に並べて大きな三角形を形作ると出来た三角形も直角二等辺三角形になるという理屈である。 |
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