ベクトル記法で正弦波交流電圧を表すと

Em*exp(j(ωt+θ))=Em*cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ)

という形で虚数部に従来のスカラー表現の電圧成分が含まれた形で複素数に拡張されていることがわかる。実数部はどんな意味があるかというと、単に原点からの向き（偏角もしくは位相）を持たせるために必要ということでしかない。いわば影みたいなものである。

これで大きさと向きを一緒にして一つの数として四則演算が可能になるのはすばらしい。本当に四則演算ができるのかは数学の参考書や線形代数の参考書を学ぶしかない。

よく調べるとベクトルと複素数が数学的に扱いが異なるというのがはっきりする。電気回路では便宜上ベクトル表記とも複素数表記とも言われるけど、実質は複素数表記であってベクトル表記ではない。ややこしいのでフェーザーとかいう言葉でお茶を濁しているのかもしれない。

みんなそうやって体系だてて勉強してきたので今更どうしようもないのかもしれない。ベクトルは３次元空間では便利なので物理学や電磁気学理論では多用されている。電気理論ではとりあえず二次元で十分なので複素数で表現するのが便利。

ベクトルでは二次元のベクトル積が複素数の積とは相容れない定義になっている。ベクトルの内積はスカラー値だし、ベクトルの外積はベクトルになるものの３次元でしか定義されていないという罠がある。

更に以下のように表すともっと簡易に式を記述することができる。

E=Em*exp(j(ωt+θ+φ))
I=Im*exp(j(ωt+θ)

こうすることで後は微分や積分は以下の様に簡潔に表すことができる。

dE/dt=jωE
dI/dt=jωI

∫Edt=E/jω
∫Idt=I/jω

虚数単位元であるjをかけたり割ったりするのは本当に微分や積分になるのかというのを確認してみよう。

jωE=jω*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=-ω*sin(ωt+θ)+jω*cos(ωt+θ)
=(cos(ωt+θ))'+j*(sin(ωt+θ))'

ちゃんと微分と一致している。また以下のように捉えることもできる。

dE/dt=(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))'
=(cos(ωt+θ))'+(j*sin(ωt+θ))'
=-ω*sin(ωt+θ)+jω*cos(ωt+θ)
=jw*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=jwE

同様に積分についても検証してみよう

E/jω=(1/jω)*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=(1/jω)*cos(ωt+θ)+(1/ω)*sin(ωt+θ)
=-j(1/ω)*cos(ωt+θ)+(1/ω)*sin(ωt+θ)
=j*∫sin(ωt+θ)dt+∫cos(ωt+θ)dt
=∫(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))dt
=∫Edt

また以下のような関係も成り立つ

j*exp(j(ωt+θ)=j*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=j*cos(ωt+θ)-sin(ωt+θ)
=j*sin(ωt+θ+π/2)+cos(ωt+θ+π/2)
=exp(j(ωt+θ+π/2))

jをかけると座標軸を時計方向に回転させることになるので位相がπ/2進めたことと同じになる。

(1/j)*exp(j(ωt+θ))=(1/j)*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=-j*cos(ωt+θ)+sin(ωt+θ)
=j*sin(ωt+θ-π/2)+cos(ωt+θ-π/2)
=exp(j(ωt+θ-π/2))

jで割ると座標軸を半時計方向に回転させることになるので位相がπ/2遅れることと同じになる。

また以下の関係も成り立つ

-exp(j(ωt+θ))=-1*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=j*j*(cos(ωt+θ)+j*sin(ωt+θ))
=j*(cos(ωt+θ+π/2)+j*sin(ωt+θ+π/2))
=cos(ωt+θ+π)+j*sin(ωt+θ+π)

当たり前だが符号を反転すると原点を中心に正反対側に回転する。

ベクトル記号法では以下の表記もある。しかし記号が特殊なので面倒である。

E=|E|exp(j(θ+φ))=|E|∠θ+φ

ここではωは省略されている。フェーザー表現では同一の角速度を持つ複数のベクトル（電圧と電流、インピーダンスとリアクタンス）の相対関係を示すのによく使われるのでその場合は角速度は省略しても構わないのである。