インピーダンスについても既に三角関数で電圧と電流を扱っていた時点でベクトル図で表すと直角三角形の関係があることに気づいていたが、これも複素表記した方が扱いやすい。

インピーダンスの定義をベクトル記号法で再定義すると

Z=E/I
=|E|*exp(j(θ+φ))/(|I|*exp(jθ))
=|Z|*exp(jφ)

となる

|Z|=|E|/|I|

とするのは以前と同じである。

複素インピーダンスの記号形式、フェーザー形式、極座標形式それに直交座標形式はそれぞれ

Z=|Z|∠φ=|Z|*exp(jφ)=|Z|*(cos(φ)+j*sin(φ))=R+jX

ここで

|Z|=sqrt(R^2+X^2)
φ=atan(X/R)
cos(φ)=R/|Z|
sin(φ)=X/|Z|

Rは抵抗、Xはリアクタンスでいずれもスカラー値であることは従来通り。

Xが正の場合は電流が電圧より位相が遅れていることを意味し誘導性リアクタンスであることを示す。

逆にXが負の場合は電流が電圧より位相が進んでいるので容量性リアクタンスであることを意味する。

インピーダンスの逆数であるアドミッタンスを記号法で再定義すると

Y=1/Z=1/(|Z|*exp(jφ))=exp(-jφ)/|Z|
=(R-jX)/(R^2+X^2)
=R/(R^2+X^2)-jX/(R^2+X^2)

ここで

G=R/(R^2+X^2)
B=-X/(R^2+X^2)

と定義すると

Y=G+jB

と直交座標形式で表すことができる。

従って

|Y|=sqrt(G^2+B^2)=1/|Z|
φ=-atan(B/G)=atan(X/R)

と定義される。

以前三角関数で定義した各素子のインピーダンスとアドミッタンスは記号法では以下のようになる

抵抗Rの場合、

Z=R
Y=1/R=G
φ=0
|Z|=R
|Y|=1/R

インダクタンスLの場合、

Z=jω*L=j*XL
Y=1/(jω*L)=-j/(ω*L)=-j/XL
φ=π/2
|Z|=ω*L=XL
|Y|=1/(ω*L)=1/XL=BL

キャパシタンスCの場合、

Z=1/(jω*C)=-j*XC
Y=jω*C=j/XC
φ=-π/2
|Z|=1/(ω*C)=XC
|Y|=ω*C=1/XC=BC

ちと符号がややこしいが三角関数の時の定義とスカラー値の定義に関しては変わらない。

インピーダンスやアドミッタンスの直列、並列接は記号法で以下の様に定義される。

複数のインピーダンスを直列に接続した場合の合成インピーダンスは

Z=Z1+Z2+...+Zn
=ΣZk (k=1〜n)
=R1+R2+...+Rn+j*(X1+X2+...+Xn)
=ΣRk+ΣXk (k=1〜n)

と表される。同様に合成アドミッタンスは

Y=1/Z
=1/(Z1+Z2+...+Zn)
=1/(1/Y1+1/Y2+...+1/Yn)
=1/Σ(1/Yk) (k=1〜n)

と表される。

複数のインピーダンスを並列に接続した場合のインピーダンスは

Z=1/(1/Z1+1/Z2+...+1/Zn)
=1/Σ(1/Zk) (k=1〜n)

同様にアドミッタンスは

Y=Y1+Y2+...+Yn
=ΣYk (k=1〜n)
=Σ(Gk+jBk) (k=1〜n)
=ΣGk+jΣBk (k=1〜n)

と表すことができる。

これを利用して複数の素子から成る場合のインピーダンスとアドミッタンスを後日求めてみることにする。